§ 20. Наблюдаемые и волновые функции частицы спина 1/2. Спинорные поля

Рассмотрим частицу спина Основные наблюдаемые такой частицы можно разбить на две категории: орбитальные переменные и внутренние, или спиновые, переменные. Первыми являются компоненты координаты и импульса они удовлетворяют коммутационным соотношениям

Вторыми являются компоненты спина, удовлетворяющие коммутационным соотношениям

и, кроме этого, дополнительному условию

Поскольку орбитальные переменные коммутируют со спиновыми, пространство векторов состояний частицы § является тензорным произведением

орбитального пространства и спинового пространства (ср. § VIII. 7). Здесь — пространство состояний бесспиновой частицы, — двумерное пространство, построенное в предыдущем параграфе.

Для описания векторов пространства § обычно выбирают представление с диагональными Вектор состояния в таком представлении задается волновой функцией

которая является функцией непрерывной переменной и дискретной переменной представляющей собственные значения и равной ±1/2.

Полный момент импульса частицы равен

Основные наблюдаемые системы — компоненты трех векторов . Ясно, что удовлетворяет коммутационным соотношениям (57), характеризующим полный момент импульса, так как

удовлетворяет им и коммутирует с тоже удовлетворяет этим соотношениям и коммутирует с

Теперь можно получить оператор вращения Коль скоро коммутируют, то он равен произведению двух коммутирующих операторов

где определено уравнением (85) и вращает спин, а определено выражением

и вращает орбитальные переменные.

При вращении на , следовательно, все кет-векторы при таком вращении меняют знак. Однако все основные наблюдаемые при вращении на не изменяются и, как было показано в § 15, трудностей в их физической интерпретации не возникает.

Часто бывает удобно использовать обозначение

и записывать волновую функцию в виде двухкомпонентной волновой функции

Для каждого значения функция определяет кет-вектор в пространстве а именно

Другими словами, волновую функцию можно рассматривать как спинорное поле.

Рассмотрение системы Z частиц спина производится совершенно аналогично. Пространством состояний системы является тензорное произведение пространств состояний отдельных

частиц. Так, спиновое пространство есть тензорное произведение Z индивидуальных спиновых пространств и имеет размерность Для каждого спина вводится система матриц Паули Вращение всех спинов как целое можно выполнить, используя полный спин

Вращение на системы спинов задается оператором