§ 9. Приложения к квантовой механике

Группы, встречающиеся в квантовой механике, являются группами преобразований в пространстве векторов состояния. Эти преобразования почти всегда линейны и унитарны, и мы ограничимся в дальнейшем обсуждении именно такими преобразованиями.

Обозначим пространство векторов состояний, а — множество унитарных операторов образующих группу.

Пусть — вектор из . Вектор и векторы полученные действием операторов группы на растягивают в общем случае не все пространство а лишь подпространство в нем, является инвариантным подпространством относительно преобразований группы и связано с некоторым унитарным и, следовательно, вполне приводимым представлением группы 3. Мы будем говорить что вектор преобразуется по представлению

Аналогичным образом, если Q — линейный оператор в то Q и множество операторов полученных действием на Q преобразований группы растягивают векторное пространство (векторами этого пространства служат операторы), элементы которого линейно преобразуются друг в друга под действием операторов группы. Пространство а связано с представлением группы которое во всех рассматриваемых ниже случаях будет либо вполне приводимым, либо даже неприводимым. Мы будем говорить, что Q преобразуется по представлению

По определению оператор Q называется инвариантным относительно группы 3, если он преобразуется по единичному представлению. В этом случае Q коммутирует со всеми операторами из группы. В более общем случае оператор Q является компонентой неприводимого тензорного оператора группы 3, если он преобразуется по неприводимому представлению этой группы.

Неприводимые подпространства Стандартное представление группы Пространство является прямой суммой неприводимых инвариантных подпространств . Каждое из них связано с некоторым неприводимым представлением группы Индекс параметризует пространства, связанные с одним и тем же неприводимым представлением.

Обозначим размерность представления Пусть (изменяется только векторов, образующих базис в пространстве Поскольку определяется только с точностью до эквивалентности, то конкретный выбор базиса произволен. Удобно раз и навсегда фиксировать эти векторы, определив стандартный базис в в котором каждому элементу группы соответствует вполне определенная матрица

В дальнейшем изложении мы будем всегда предполагать, что выбран именно этот стандартный базис.

Множество векторов (изменяются ) образует систему базисных векторов пространства . Мы будем называть представление группы стандартным. Термин представление здесь используется в привычном квантовомеханическом смысле. Трансформационные свойства компонент кет-векторов и операторов под действием преобразований из группы имеют особенно простой вид в этом представлении. Эти свойства суммируются двумя приводимыми ниже теоремами.

Компоненты кет-векторов и операторов в представлении

Теорема А. Если векторы линейно преобразуются друг в друга, подобно базисным векторам унитарного представления т. е. если

то их компоненты имеют следующие свойства:

1°. Если не встречается в разложении

представления на неприводимые компоненты, то

2°. Если встречается в разложении (11) и если — матрица, реализующая это разложение, то

где постоянных не зависят от

Теорема В. Если операторы линейно преобразуются друг в друга, подобно базисным векторам унитарного представления т. е. если

то матричные элементы имеют следующие свойства.

1°. Если не встречается в разложении

тензорного произведения на неприводимые компоненты, то

2°. Если имеется в разложении и если — матрица, реализующая это разложение, то

где есть постоянных, не зависящих от .

Важное замечание. Матричные элементы унитарных матриц, которые фигурируют в формулировке теорем, удовлетворяют уравнениям

Эти матричные элементы полностью определяются по заданным представлениям и зависят только от того, как преобразуются векторы или операторы под действием группы

Доказательство теоремы А. Подействуем унитарным преобразованием на базисные векторы результате получим новый набор базисных векторов

Из условия унитарности получаем

Из определения этого унитарного преобразования следует, что векторов (здесь a, k фиксированы, а меняется х) растягивают подпространство и образуют стандартный базис для представления в этом подпространстве. Разлагая эти векторы по базисным векторам представления имеем

Матрица (где — переменные, а остальные индексы фиксированы), содержащая строк и столбцов, осуществляет гомоморфное отображение пространства Поскольку представления в этих пространствах либо неэквивалентны, либо совпадают, то леммы Шура следует:

где — не зависящая от постоянная. С учетом этого результата, проектируя обе части равенства (17) на получаем

Оба утверждения теоремы А содержатся в этом равенстве.

Доказательство теоремы В. Рассмотрим векторы (здесь и меняются, а фиксированы). Эти векторы линейно преобразуются друг в друга подобно базисным векторам представления Отсюда в общем случае не следует, что пространство, растягиваемое этими векторами, связано с этим представлением, так как эти векторы не обязаны быть линейно независимыми. Однако если это представление не совпадает с представлением то, согласно следствию, соответствующее представление является одной из компонент представления Несмотря на то, что рассматриваемые векторы могут и не быть линейно независимыми, мы будем оперировать с ними точно так же, как с векторами в теореме А.

Определим векторы

Из соотношения унитарности для матрицы следует:

векторов меняется, а остальные индексы фиксированы) либо все нулевые, либо образуют стандартный базис представления . В последнем случае можно применить теорему А. Итак, в любом случае имеем

где постоянные, не зависящие от Следовательно, проектируя обе части равенства (17) на получаем равенство

из которого следуют оба утверждения теоремы В.

Правила отбора. Если преобразуются по представлениям соответственно, и если ни одна из неприводимых компонент представления не встречается в разложении то

Это правило широко используется. В случае, когда и неприводимы, оно следует непосредственно из утверждения 1° теоремы В. Однако оно справедливо и в том случае, когда ни одно из представлений не является неприводимым. Для доказательства достаточно заметить, что преобразуется (следствие) по представлению или по одной из его компонент, и применить теорему А к вектору

Пример: группа вращений. Теоремы А и В применимы, в частности, к группе вращений.

Задача сложения двух моментов импульса есть не что иное как конкретное воплощение теоремы А. Введенные в § XIII. векторов преобразуются как базисные векторы представления образованного тензорным перемножением неприводимых представлений группы вращений. Согласно результатам раздела V главы XIII разложение этого представления на неприводимые имеет вид

а элементами унитарной матрицы, осуществляющей это разложение, являются коэффициенты Клебша — Гордана М). Поскольку каждое неприводимое представление встречается в разложении (19) не более чем один раз, т. е. при то сумма в правой части равенства (12) содержит в рассматриваемом случае только один член. Таким образом, компоненты вектора в каждом из подпространств известны с точностью до постоянной (не зависящей от М).

Аналогично теорема Вигнера — Эккарта (§ XIII. 32) следует из применения теоремы В к компонентам тензорного оператора, неприводимого по отношению к вращениям, т. е. к операторам, преобразующимся как базисные векторы представления

Матричный элемент определяется выражением (14). Поскольку каждая компонента представления встречается

только одни раз в разложении этого представления на неприводимые при то сумма в правой части равенства (14) содержит в рассматриваемом случае только один член.

(N. В. Определение приведенных матричных элементов используемое в главе XIII, отличается от принятого здесь только множителем

Инвариантные наблюдаемые. S-вырождение, Наблюдав» мая Q называется инвариантной относительно группы если

векторов фиксированы, переменно) преобразуются как базисные векторы представления Теорема В (или, что эквивалентно, теорема А, или лемма Шура) означает в рассматриваемом случае, что

Таким образом, Q описывается матрицей особенно простого вида в стандартном представлении группы 3.

В таком представлении задача на собственные значения наблюдаемой Q сводится к диагонализации эрмитовых матриц элементыкоторых зависят только от двух индексов Каждому значению таким образом соответствует некоторое число собственных значений наблюдаемой Q, а именно, — собственные значения матрицы Каждое невырожденное собственное значение этой матрицы является -кратно вырожденным собственным значением наблюдаемой . Каждое -кратно вырожденное собственное значение матрицы является -кратно вырожденнным собственным значением для

Укажем, в частности, следующие два свойства:

1°. если Q инвариантна относительно то подпространства, соответствующие каждому из собственных значений наблюдаемой Q, также инвариантны относительно 9;

2°. если наблюдаемая Q, инвариантная относительно группы определена на конечномерном пространстве, векторы которого преобразуются друг В друга согласно представлению и если разложение этого представления на неприводимые имеет вид

то число различных собственных значений наблюдаемой Q не превышает

Неприводимые тензорные операторы. Если оператор Q преобразуется по представлению то всегда можно представить Q в виде суммы операторов, каждый член которой преобразуется по одной из неприводимых компонент представления Поэтому неприводимые тензорные операторы заслуживают особого рассмотрения.

По определению компоненты неприводимого тензорного оператора порядка линейно преобразуются друг в друга в соответствии с неприводимым представлением Таким образом, этот оператор определяет -мерное пространство представления . В частности, этот оператор имеет стандартных компонент фиксировано, х переменно), образующих стандартный базис в указанном пространстве представления. По определению

(см. соотношение

Пусть разложение на неприводимые тензорного произведения неприводимых представлений имеет вид

и пусть элементы унитарной матрицы, реализующей это разложение. В стандратном представлении компоненты имеют, согласно теореме В, следующие свойства:

Заключение. Из изложенного выше следует, что мы можем использовать во всей полноте свойства кет-векторов и операторов квантовой механики относительно преобразований данной группы, если известны:

(i) все неприводимые представления (с точностью до эквивалентности) данной группы и в каждом из этих представлений определены матрицы, отвечающие выбору стандартного базиса;

(ii) разложения тензорных произведений таких представлений на неприводимые компоненты, и построены матрицы, задающие разложения каждого из таких произведений (т. е. определены коэффициенты в уравнении (22) и «коэффициенты Клебша — Гордана»