§ 10. Функция Грина как оператор. Связь с резольвентой оператора

В предыдущих параграфах функция Грина фигурировала как. ядро интегрального уравнения. Ее можно рассматривать также как матричное представление некоторого оператора определяемого формулой

Возьмем вектор и обозначим соответствующую волновую функцию Вектор который получается после действия на оператора задается функцией

Аналогично определим оператор

В силу симметрии по имеем

Индекс 0 показывает, что эти операторы связаны с гамильтонианом свободной частицы Но. Значки (+) и (-) относятся к асимптотическому поведению, которое с учетом асимптотиче ской формы функции Грина (ур. (34)) имеет вид:

Результат справедлив для любого вектора с конечной нормой (последнее условие обеспечивает сходимость интеграла в правой части).

Отметим сильную сингулярность этих операторов. Если не все Фурье-компоненты и отвечающие волновым векторам длины обращаются в нуль, то на бесконечности

убывает недостаточно быстро для того, чтобы быть квадратично интегрируемой функцией. Другими словами, действие или на вектор гильбертова пространства дает функцию, не принадлежащую этому пространству. Следовательно, не являются, вообще говоря, операторами в гильбертовом пространстве.

Однако мы можем определить их как пределы операторов в гильбертовом пространстве

В правой части формулы стоит резольвента (см. гл. XVI, раздел III). Это ограниченный оператор в гильбертовом пространстве при всех значениях комплексной переменной за исключением собственных значений т. е. точек положительной вещественной полуоси. Поведение резольвенты в окрестности этих точек определено формулой (62). Если z стремится к Е сверху от вещественной оси то стремится к а если стремится к Е снизу от вещественной оси , то стремится к

Докажем формулу (62). Рассмотрим диагональную матрицу в -представлении и применим хорошо известное унитарное преобразование для получения матрицы этого оператора в -представлении

Это выражение легко проинтегрировать по углам. Вводя величину 5, определяемую соотношением

и обозначая

находим

Величина последнего интеграла не изменится, если замкнуть путь интегрирования дугой полуокружности, расположенной на бесконечности в верхней полуплоскости. Получившийся контурный

интеграл равен произведению на сумму вычетов в полюсах, расположенных в верхней полуплоскости. В данном случае имеется только один полюс. Его положение зависит от знака а значит, от знака

Следовательно,

Эти выражения необходимо сравнить с выражениями для

Рис. 17.

Рассмотрим предел, когда z стремится к Е, а стремится к . При переходе к пределу, в зависимости от знака или мнимой части , вычисленный выше матричный элемент стремится к или .

Часто легче производить алгебраические преобразования с операторами, чем с задающими их матрицами. Поэтому зачастую предпочтительнее использовать операторы вместо функций Грина. Тем не менее следует помнить, что это сингулярные операторы и обращение с ними требует известной осторожности Для полной строгости их следовало бы заменять

регулярными операторами и аккуратно совершать предельный переход Далее мы не будем придерживаться такого уровня строгости. Если же будут заменяться операторами то всегда будет подразумеваться, что вещественное и положительное число. Формулы необходимо рассматривать в пределе

Интегральные уравнения (36) и (37) теперь можно записать в виде

или

Итерируя эти уравнения, получаем борновское разложение

В этих выражениях символы означают либо стационарные волны, либо представляющие их кет-векторы.

Сопряженные уравнения получаем из данных заменой кет-векторов в обеих частях на соответствующие им сопряженные бра-векторы. В силу эрмитовости

Тогда из формулы (63) получаем

а из формулы (64) получаем борновское разложение