§ 13. Целые значения J (J=l) и преобразование сферических функций при вращениях

Случай

(В этом выражении расположенные сверху вниз строки соответствуют ; расположенные слева направо столбцы соответствуют тем же значениям М.)

Преобразование сферических функций при вращении. Пусть со — сферические координаты единичного вектора относительно координатной системы

— сферические координаты того же вектора относительно системы

— углы Эйлера вращения, переводящего систему Охуг в систему

— однозначные функции от 0 и в которые , у входят в качестве параметров.

— сферические углы в системе Охуг вектора который при вращении преобразуется в вектор V. Справедливо равенство

Сферическая функция соответствует кет-вектору в представлении

Вращение преобразует этот вектор в вектор составляющие которого в направлении вектора равны составляющим по направлению отсюда следует формула преобразования сферических функций при вращении

Скалярное произведение и теорема сложения. Пусть и — два единичных вектора, со и со — соответствующие им сферические координаты относительно системы Охуг, — сферические координаты тех же векторов относительно системы Соотношение (76) и унитарность дают

В частности, если направлен вдоль оси то получаем теорему сложения

Выражение через Для целых:

(i) если то — полином по степени 1;

(ii) если (полином по степени

В частности,

Выражения для