§ 23. Свободный электрон. Плоские волны

В оставшейся части этого раздела мы рассмотрим решения, уравнения Дирака при отсутствии внешнего поля и в статическом центральном потенциале. Чтобы решить уравнение Дирака, достаточно найти собственные функции гамильтониана Далее, если не оговорено противное, мы будем использовать представление Дирака, а также введенные в § 7 операторы

Пусть внешнее поле равно нулю. Тогда гамильтониан Но коммутирует с тремя компонентами импульса, и, следовательно, мы можем искать собственные функции отвечающие вполне определенному значению импульса Такими решениями будут плоские волны — функции вида

где — не зависящий от четырехкомпонентный спинор. Он определяется из уравнения на собственные значения

где Н — оператор в пространстве

Несложное вычисление дает

Следовательно, собственными значениями Я могут быть только два значения

Легко показать, используя, например, антикоммутативность , что эти собственные значения двукратно вырождены.

Как видно из формулы (151), компонента спина в направлении коммутирует с Н. (Другие компоненты спина с Н не коммутируют.) Таким образом, мы можем искать собственные

векторы, общие для Н и Имеем четыре пары собственных значений:

Каждой паре отвечает одно собственное состояние. Соответствующий спинор несложно найти из двух уравнений на собственные значения. Другой метод построения этого спинора мы приведем в следующем параграфе.

В табл. IV содержатся компоненты собственных спиноров (нормированных на единицу) в случае, когда импульс направлен по оси z. Напомним, что в представлении Дирака — диагональные матрицы.

Таблица IV. Компоненты спиноров, соответствующих волне с импульсом в представлении Дирака (см. скан)