Раздел III. ЯВНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ РАЗЛОЖЕНИЙ ПО ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ ВО ВСЕХ ПОРЯДКАХ
§ 15. Гамильтониан Н и его резольвента G(z)
В этом разделе мы изложим кратко подход, дающий явный вид членов любого порядка разложения по теории возмущений. В подходе, предложенном Като, используется разложение
резольвенты 
гамильтониана Н в ряд по степеням возмущения. В этом параграфе мы определим 
и опишем некоторые ее свойства.
По определению, если оператор Н — наблюдаемая, то его резольвентой называется функция
комплексной переменной 
На рис. 9 изображена комплексная плоскость z и на вещественной оси отмечен спектр Н; спектр обычно состоит из дискретной части и непрерывной части, последняя располагается справа от дискретной части и тянется вплоть до бесконечности.
Рис. 9. Комплексная плоскость 
определение контура Г. Спектр Н выделен на вещественной оси жирными линией и точками.
Резольвента 
является аналитической функцией 
а ее особенности образуют спектр Н.
Предположим для простоты, что спектр оператора Н чисто дискретный. Собственные значения обозначим 
а проектор на отвечающее 
, подпространство — 
Соотношения ортогональности и полноты имеют вид
Из определения (52) имеем
и, следовательно,
Каждому дискретному собственному значению 
оператора Н отвечает простой полюс 
вычет в котором равен проектору Другими слозами
где 
— замкнутый контур в комплексной плоскости, окружающий 
а все остальные сингулярности 
лежат вне его. В более общем случае, если Г — замкнутый контур, не проходящий ни через одно из собственных значений Н (рис. 9), а 
— сумма проекторов 
соответствующих собственным значениям внутри этого контура, то
Умножая уравнение (58) на Н и учитывая тождество
получаем важную формулу
