§ 4. Основное состояние атома гелия

В качестве первого примера) применения метода теории возмущений, вычислим энергию основного состояния атома гелия или, говоря более общим образом, энергию основного состояния любого -кратно ионизированного атома. Такой атом состоит из ядра с зарядом и двух электронов. Ядро предполагается бесконечно тяжелым, так что получаем гамильтониан двух электронов в потенциале

где координаты первого и второго электронов, а - расстояние между электронами.

Если пренебречь потенциалом взаимного отталкивания то гамильтониан системы сводится к гамильтониану двух независимых частиц в кулоновском поле для которого задача на собственные значения может быть решена точно. Мы возьмем этот гамильтониан в качестве «невозмущенного», а потенциал будем рассматривать как возмущение. В основном состоянии оба электрона находятся в состоянии

Пусть — энергия связи в основном состоянии атома водорода. Тогда энергия основного состояния равна сумме энергий двух электронов

Соответствующая собственная функция равна произведению собственных функций каждого электрона (см. § Б. 3)

где

Поправки к энергии от возмущения в первом порядке вычисляются по формуле

Это электростатическая энергия двух сферических распределений электричества с плотностями , где

Для вычисления интеграла

мы используем разложение (Б. 99). После интегрирования по углам получаем

Подставляя (18) и вычисляя находим, что поправка равна

Приближение тем лучше, чем меньше энергия взаимного отталкивания электронов по сравнению с энергией притяжения к ядру, т. е. чем больше Это проиллюстрировано в табл. I, где приведены экспериментально наблюдаемые энергии связи для основных состояний Не, и результаты вычислений по теории возмущений.

Таблица I. Энергии связи атомов в основном состоянии (см. скан)

Разложение по теории возмущений сходится быстрее, чем можно было бы ожидать, рассматривая ситуацию и вычисление энергии связи в первом порядке уже дает разумное согласие с наблюдаемой величиной даже в случае гелия