§ 4. Простой пример: атом водорода

Прежде чем обсуждать подробно вариационный метод, его достоинства и недостатки, полезно познакомиться с ним на конкретном примере вычисления основного состояния атома водорода и полученные результаты сравнить с точными ответами главы XI.

Введем обозначения:

Так как мы ищем собственные состояния с фиксированным ментом импульса то пробные функции выберем в виде

Несложное вычисление дает

Ограничимся s-состояниями и вычислим стационарные значения энергии для трех различных пробных функций:

Каждая из этих функций зависит только от одного параметра . Следовательно, в каждом случае сводится к функции от и наша задача состоит в определении минимума этой функции. Несложные вычисления приводят к результатам, собранным в табл. I. Первым приводится аналитическое выражение для нормы пробной функции как функции от затем среднее значение энергии, положение минимума и его значение Интересно сравнить с энергией основного состояния и приближенное решение с точным — Для этого в табл. I приведены нормированные диальные функции а соответствующие кривые изображены на рис. 14, их можно сравнить с точным решением Для каждого из трех приближенных решений в таблице также приведены среднее значение и величина (предполагается, что нормированы на единицу); величина служит хорошей мерой отклонения от основного состояния (она равна квадрату нормы компоненты ортогональной ).

Все три пробные функции, как и волновая функция основного состояния, не имеют нулей (за исключением начала координат). Поэтому естественно ожидать, что они больше походят на эту функцию, чем на волновые функции возбужденных состояний, и величина ближе к энергии основного состояния — чем к какому-либо другому уровню (первый возбужденный уровень: ). Для того чтобы в этом

убедиться, мы приводим в таблице I под каждым значением соответствующее значение отношения которое хорошо отражает ошибку, возникающую при вычислении энергии основного состояния вариационным методом.

Таблица I. Вычисление вариационным методом основного состояния атома водорода (см. скан)

Лучший результат получается с пробной функцией которая дает точную волновую функцию и точное собственное значение; отметим, что имеет то же поведение в начале координат и экспоненциальное убывание на бесконечности как и собственные функции s-состояний (даже для притягивающего потенциала, отличного от кулоновского, когда мы не получили бы точной волновой функции, согласие результатов было бы очень хорошим). Функция «2 имеет правильное поведение в начале координат, но совершенно отличную от точного решения асимптотику на бесконечности, однако она дает удовлетворительное значение Функция которая имеет совершенно другое поведение в начале координат и правильное экспоненциальное убывание на бесконечности, дает более скромный результат.

Рассмотрение величин показывает, что в целом функция больше похожа на точное решение, чем Тот факт, что она дает худший результат для энергии, подчеркивает важность поведения пробной функции в начале координат при вычислении энергии, в особенности из-за притягивающего характера потенциала.

Рис. 14. Нормированные радиальные функции основного состояния атома водорода, полученные вариационным методом.