Раздел I. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
§ 2. Определение момента импульса
Мы уже встречались с оператором момента импульса при рассмотрении квантовых систем одной частицы. По определению, момент импульса частицы равен
где 
— векторы координаты и импульса данной частицы. В волновой механике I представляется векторным оператором 
три компоненты которого являются дифференциальными операторами, удовлетворяющими следующим правилам коммутации:
Каждая из компонент коммутирует с квадратом углового момента
т. е.
Эти свойства были получены в § V. 18. Напомним, что последнее равенство является простым следствием соотношений (2).
Операторы 
— векторные. Векторный оператор В определяется своими компонентами 
по трем ортогональным осям, где 
операторы в обычном смысле этого слова. При заданных трех компонентах мы можем определить компоненту 
оператора В в произвольном направлении 
задаваемом единичным вектором 
Таким образом, мы можем определить компоненты векторного оператора В по ортогональным осям любой другой системы координат. Различные операции векторной алгебры (сложение, скалярное произведение, векторное произведение и т. д.) переносятся на векторные операторы без изменения.
Рассмотрим квантовую систему N частиц. Как и выше, мы можем определить момент 
частицы 
Полный момент импульса системы является векторной суммой моментов N частиц
Так как каждый отдельный момент импульса удовлетворяет коммутационным соотношениям (2), а компоненты любого из них коммутируют с компонентами всех других, то мы имеем
Аналогично получаются еще два соотношения, возникающие после циклической перестановки индексов. Таким образом, компоненты полного момента импульса удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям, Что и компоненты индивидуальных моментов.
Тем самым мы пришли к следующему определению момента импульса: векторный оператор 
называется оператором момента импульса, если его компоненты являются наблюдаемыми и удовлетворяют коммутационным соотношениям
Из этих трех соотношений мы можем вывести аналогичные соотношения для компонент 
вдоль любой другой системы осей. Пусть компоненты 
по трем ортогональным осям, единичные векторы которых 
ориентированы так, что 
. Тогда несложно доказать соотношение
и два других, получающихся циклической перестановкой индексов 
— любые два вектора (или два векторных оператора, коммутирующие друг с другом и с 
), то имеем более общее соотношение
