§ 12. Свойства инвариантности гамильтониана и законы сохранения

Пусть гамильтониан Я инвариантен относительно преобразований группы Тогда мы можем повторить для гамильтониана все то, что было сказано относительно инвариантных наблюдаемых. Исходя из коммутационных соотношений

образуем наблюдаемые типа и М. Эти операторы вместе с Я образуют множество наблюдаемых, которые можно диагонализовать одновременно. Более того, спектр оператора Н имеет -вырождение.

Как и в классической механике, инвариантность гамильтониана приводит к законам сохранения. Действительно, поскольку всякая наблюдаемая (не зависящая явно от времени), которая перестановочна с , является интегралом движения, то мы имеем очевидное свойство.

Если Н инвариантен относительно преобразований группы, то всякая наблюдаемая, являющаяся функцией операторов группы, представляет собой интеграл движения.

В частности, этим свойством обладают определенные выше наблюдаемые и поскольку они коммутируют друг с другом,

то их значения можно измерить одновременно и они остаются фиксированными с течением времени.

Итак, с каждой группой связано некоторое число законов сохранения. Всякий раз, когда сохраняющаяся наблюдаемая имеет классический аналог, эти законы сохранения идентичны соответствующим классическим законам. Ниже указаны наиболее часто встречающиеся из них.

(i) Трансляционная инвариантность и сохранение полного импульса. Необходимое и достаточное условие инвариантности гамильтониана относительно трансляций состоит в инвариантности его относительно инфинитезимальных трансляций, т. е.

где Р — полный импульс системы. Таким образом, три компоненты полного импульса являются интегралами движения и полный импульс сохраняется. Кроме того, поскольку коммутируют друг с другом, то их можно одновременно точно определить и они сохраняют свои значения с течением времени.

(ii) Инвариантность относительно вращений и сохранение момента импульса. Эти вопросы уже изучались в главе XIII. Напомним, что инвариантность гамильтониана относительно вращений выражается условием:

(iii) Инвариантность относительно отражений и сохранение четности. Из инвариантности гамильтониана относительно отражений в точке

следует, что четность является интегралом движения.

(iv) Инвариантность относительно перестановок и сохранение симметрии. В системе, состоящей из тождественных частиц, гамильтониан Н инвариантности относительно любой перестановки Р этих частиц

Отсюда следует, что любая наблюдаемая, построенная из Р, является интегралом движения. Таковыми являются проекторы S и А на симметричные и антисимметричные состояния соответственно

Таким образом, S и А являются интегралами движения. Мы видели в главе XIV, что эти свойства операторов S и А являются

необходимыми для внутренней согласованности постулата о симметризации.

(v) Зарядовая независимость и сохранение изотопического спина. Пусть Т — полный изотопический спин системы нуклонов. Если нуклон-нуклонные силы зарядово независимы, то гамильтониан системы инвариантен относительно вращений в пространстве изотопического спина, т. е.

Следовательно, компоненты наблюдаемой Т, а также наблюдаемые, являющиеся функциями этих трех компонент, являются интегралами движения. В частности — интегралы движения. (N. В. Сохранение есть не что иное как сохранение заряда.)