§ 4. Случай, когда V не зависит от времени. Сохранение невозмущенной энергии

Когда У не зависит явно от временч, интегрирование по времени в формулах (24) легко выполняется и полученные выражения обладают рядом интересных и простых свойств. Ограничимся обсуждением переходов первого порядка.

Возьмем тогда по формуле (25) имеем

где

Зависимость функции от со изображена на рис. 11. Отметим очень острый пик в окрестности ширины Используя теорию вычетов, несложно показать, что

и согласно (А.156)

Рис. 11. Функция

Для данного значения величина имеет простую зависимость от конечного состояния . С точностью до константы она равна квадрату модуля матричного элемента возмущения умноженного на функцию которая зависит от частоты перехода Поскольку этот множитель имеет ярко выраженный пик ширины в точке переход будет происходить в основном в состояния с энергией в интервале шириной

центр которого совпадает с энергией начального состояния. Другими словами, переходы сохраняют невозмущенную энергию с точностью до

Этот результат в некотором смысле аналогичен соотношению неопределенности для энергии — времени (§ IV. 10 и VIII. 13). Однако следует отметить, что здесь фигурирует энергия не всей системы, включая возмущение, а лишь и время есть время, после которого производят измерение а не время, характеризующее эволюцию системы.

Для данного состояния зависимость от также определяется множителем Если при переходе невозмущенная энергия точно сохраняется то этот множитель растет как . В противном случае он осциллирует между с периодом Величина осциллирует с тем же периодом около среднего значения и ведет себя как только для значений малых по сравнению с периодом.

Вместо того чтобы рассматривать переход в определенное состояние, можно рассматривать переходы в группу состояний с близкими энергиями. Именно так всегда поступают при исследовании переходов в состояния непрерывного спектра. Тогда, сделав некоторые дополнительные ограничения, которые в дальнейшем будут уточнены, можно определить вероятность перехода в единицу времени.

Итак, рассмотрим некоторую последовательность собственных векторов принадлежащих непрерывному спектру. Вектор из этой последовательности будем обозначать — соответствующее собственное значение

При определении вероятностей перехода следует обратить внимание на нормировку векторов Будем считать их нормированными так, что

где -некоторая вещественная положительная функция. Проектор на состояния из области В переменной есть (см.

Если выбрать в качестве новой переменной и соответствующую область интегрирования обозначить то получим

где

эта величина известна как плотность уровней при энергии Е. Отметим, что зависит от нормировки .

Вероятность перехода в одно из состояний области В равна

Формула (46) получена после подстановки вместо выражения (44) и использования равенства

Здесь формально представляет вероятность перехода а определяемую уравнением (22). Все преобразования, относящиеся к вычислению этой величины, полностью обоснованы и в данном случае. В частности, подставляя (40) в правую часть (46), получаем вероятность перехода в первом порядке по возмущению

где на зависимость от Е величины указывает параметр

В качестве конкретного примера рассмотрим переходы на уровни лежащие внутри интервала предполагая достаточно малым, чтобы были почти постоянны на этом интервале и их можно было вынести за знак интеграла. Предположим также, что достаточно велико, так что много больше периода колебаний функции

В этих предположениях интеграл в правой части формулы (48) легко вычисляется. Следует рассматривать два случая:

(i) Основной пик функции лежит вне области интегрирования (переходы не сохраняют энергию). В этом случае можно

заменить ее значением, усредненным по нескольким колебаниям, что дает не зависящее от времени выражение

(ii) Основной пик лежит в области интегрирования (переходы, сохраняющие энергию). Тогда пик дает главный вклад в интеграл и расширение области интегрирования до всей оси ведет лишь к незначительным погрешностям, после чего получаем (ур. (42))

В силу неравенства (49) эта вероятность превосходит сумму всех остальных.

Определим вероятность перехода в единицу времени как

В соответствии с предыдущими результатами можно заключить, что эта величина исчезает для переходов, не сохраняющих энергию, а для сохраняющих энергию переходов она дается важной формулой

В этой формуле матричный элемент и плотность уровней относятся к состояниям энергия которых равна энергии начального состояния.

Для справедливости формулы (50) величина должна быть достаточно велика для того, чтобы было выполнено условие (49) и достаточно мала для того, чтобы было оправдано приближение первого порядка

Приведенное доказательство обладает тем преимуществом, что демонстрирует значение формулы (50) и условия, при которых она справедлива. Эту формулу можно получить совсем просто, заменив в правой части выражения (40) функцию ее асимптотикой (43), что дает

и подставив это в определение