§ 4. Борновское приближение

Формула -точная. Подобно формуле (X. 2), из которой она была выведена, она связывает сечение рассеяния со стационарным решением . В данном случае решение фигурирует не в асимптотической форме, а полностью как множитель в интеграле. Если заменить его приближенным решением, то мы получим приближенное выражение для сечения.

В частности, для достаточно малых решение мало отличается от падающей плоской волны и может быть заменено последней при вычислении амплитуды перехода. Это дает борновское приближение

В этом приближении равенство (15) сводится к формуле (XVII. 54), оправдывая наше предположение о том, что оно дает приближенное выражение для сечения в пределе, когда можно рассматривать как возмущение.

Пусть

— импульс, переданный частице в процессе столкновения (рис. 16). Длина вектора зависит от угла рассеяния 0 между векторами следующим образом:

Из формулы (23) имеем

Таким образом, в борновском приближении сечение рассеяния принимает особенно простой вид

Сечение пропорционально квадрату модуля преобразования Фурье от соответствующего импульсу, переданному при столкновении. Отметим, что зависимость сечения от энергии а угла входит только посредством вектора

Рис. 16.

Для центрального потенциала ситуация еще проще. После интегрирования по углам правая часть (25) становится равной

Дифференциальное сечение зависит в этом случае только величины переданного импульса. Используя в качестве переменной интегрирования вместо , получим полное сечение

Из этих формул можно вывести ряд общих заключений относительно поведения сечений при высоких энергиях. Обозначим радиус действия потенциала через а. Так как вещественная функция существенно отлична от нуля только в области с линейными размерами порядка а, то ее преобразование Фурье сосредоточено в начале координат в области с линейными размерами порядка

Следовательно, сечение рассеяния отлично от нуля только в области, где Согласно формуле (24) эта область соответствует углам рассеяния

При высоких энергиях происходит в основном рассеяние вперед в конусы с углом меньше, чем Эти выводы основаны на борновском приближении, их можно сравнить с результатами о высокоэнергетическом рассеянии на твердой сфере (§ X. 13).

Полное сечение стремится к нулю как Результат с очевидностью следует из формулы (28), откуда получаем следующую асимптотику:

Эти выводы легко обобщить и на случай нецентральных потенциалов.