§ 18. Законы сохранения и интегралы движения

Если преобразование зависит от времени, то связанный с ним оператор Т изменяет зависимость от времени. Так происходит в случае временных трансляций и специальных преобразований Лоренца.

С другой стороны, если преобразование не зависит от времени, то действие Т определяется независимо от уравнения движения состояний, на которые он действует. Тогда оператор Т можно определить как оператор преобразования векторов состояния и наблюдаемых системы, как это было сделано в главе XV (раздел II). Свойства инвариантности уравнения, которое определяет зависимость состояний от времени, можно сформулировать при этом в виде законов сохранения.

Например, если есть преобразование только пространственных переменных, то оператор Т является некоторой функцией операторов инфинитезимальных трансляций, инфинитезимальных вращений и отражения, т. е. функцией и Р. Следовательно, Т коммутирует с , поскольку

коммутационное соотношение (112) в этом случае эквивалентно

Мы получили то же условие, что и в § XV. 12 и все сказанное там о связи между свойствами инвариантности гамильтониана и законами сохранения справедливо и в этом случае.

Так, если потенциал инвариантен относительно трансляций, то справедливы коммутационные соотношения

и сохраняется импульс. Если потенциал сферически-симметричен, то

и сохраняется полный момент импульса. Если инвариантен относительно отражения в начале координат, то

и сохраняется четность.