ГЛАВА XV. ИНВАРИАНТНОСТЬ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ. ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ

§ 1. Введение

В данной главе систематически исследуются свойства инвариантности уравнений движения физической системы относительно некоторых преобразований. Изучаются выводы, которые можно сделать о поведении физической системы на основании этих свойств инвариантности.

Вспомогательные математические сведения приведены в разделе I.

В разделе II изучаются общие свойства преобразований и групп преобразований. Каждому преобразованию переменных и динамических состояний будет сопоставлен оператор Т, действующий на кет-векторы, описывающие состояния. Оператор Т — либо линейный унитарный, либо антилинейный унитарный и определен с точностью до произвольного фазового множителя законами преобразования основных наблюдаемых системы.

Как правило, в физических приложениях оператор Т линеен за исключением оператора обращения времени. Различные преобразования, встречающиеся в физике, образуют определенные группы преобразований. Каждой такой группе § сопоставляется группа операторов, реализующих эти преобразования. После краткого обзора наиболее важных из этих групп мы продемонстрируем на простых примерах методы построения в случае, когда группа конечная, и в случае, когда — непрерывная группа, конечные преобразования которой могут быть определены как последовательность инфинитезимальных преобразований.

Вопросы, специфически относящиеся к инвариантности, разбираются в разделе III. Преобразования этого раздела не

зависят от времени и линейны, а полученные результаты являются простыми обобщениями тех, которые были получены ранее (гл. XIII) для вращений. Инвариантность уравнений движения динамических состояний относительно преобразований некоторой группы эквивалентна предположению о том, что гамильтониан Н коммутирует с операторами группы Таким образом, любая наблюдаемая, образованная из операторов группы является интегралом движения, так что из О-инвариантности следует существование законов сохранения. Учет свойств симметрии гамильтониана Н позволяет упростить процедуру его диагонализации и сделать ряд предсказаний о наличии и характере вырождения его собственных значений.

Инвариантность относительно обращения времени выделяется как своим физическим значением, так и тем обстоятельством, что соответствующий ей оператор антилинеен. Эта инвариантность обсуждается в разделе IV. Изложенный в этой главе материал проясняет удивительную аналогию, имеющуюся между классической и квантовой механиками в определении преобразований, в связи свойств инвариантности уравнений движения, симметрий гамильтониана и в существовании законов сохранения.