§ 21. Векторные поля и частицы спина 1

Полезно подчеркнуть параллель между понятием спинорного поля и более известным понятием векторного поля.

Пусть — векторное поле, связанное с физической системой. Им может быть, например, магнитное или электрическое поле или, как мы увидим ниже, волновая функция частицы спина 1.

Рассмотрим как преобразуется при вращениях. Пусть -поле, которое получилось из в результате вращения физической системы

Поле А в точке получается вращением вектора задающего поле А в точке т. е. (см. ур. (43) и (47))

Так, для вращения на угол а вокруг находим (см. ур. (44))

В частности, инфинитезимальное вращение на угол вокруг дает

где — определенный выше дифференциальный оператор, — оператор, определяемый равенством

Оператор преобразует каждую компоненту поля в данной точке в некоторую линейную комбинацию трех компонент поля в той же точке. Если определяется тремя декартовыми составляющими то задается матрицей

Аналогично определяются операторы их матрицы имеют вид

Легко показать, что удовлетворяют коммутационным соотношениям, характеризующим компоненты момента импульса. Обозначим этот момент через s; вычисляя его квадрат, получаем

что соответствует моменту импульса По определению, будем называть s — внутренним моментом или спином векторного поля.

Поле может описывать частицу спииа 1. Обозначим

где — волновая функция, зависящая не только от координат частицы, но и от индекса который может принимать три значения и представляет внутреннюю переменную, описывающую ориентацию частицы. Скалярное произведение таких волновых функций равио

Оператор I действует только на пространственные координаты, в то же время s действует только на внутренние переменные. Ясно, что операторы и действуя на разные переменные, коммутируют. Оператор инфинитезимального вращения вокруг оси z определяется уравнением (91), аналогично получается оператор инфинитезимального вращения вокруг любой другой оси; используя определение (55), находим полный момент импульса частицы (см. ур. (87))

Верио и более общее утверждение: любое линейное преобразование векторного поля можно представить как действие некоторого линейного оператора, который выражается в виде функции от трех основных операторов

В частности, справедливо важное тождество

которое легко проверить, пользуясь определением ротора и явным видом матриц

Понятия скалярного произведения, вращения, линейного преобразования, не зависят от выбранного представления. Волновая функция задает динамическое состояние частицы в представлении, где базисные векторы внутренней переменной соответствуют единичным векторам вдоль каждой из трех осей эти базисные векторы являются собственными векторами операторов соответственно, с собственным значением 0 (см. задачу 10). Часто удобнее использовать представление, где базисными векторами являются собственные векторы оператора с собственными значениями соответственно; они получаются друг из друга согласно закону, определенному в § 6. В этом представлении и s задаются матрицами, которые удовлетворяют соотношениям (28) а связанный с векторным полем А кет-вектор задается волновой функцией

Согласно определению (ср. ур. (89))

имеем