§ 7. Заключение

Приведенное выше исследование свойств оператора момент» импульса основывалось исключительно на коммутационных соотношениях и на том факте, что его компоненты являются

эрмитовыми операторами в гильбертовом пространстве. Мы показали, что квантовое число может принимать только целые или полуцелые значения и что каждому собственному значению оператора отвечает одна или несколько серий из линейно независимых векторов. В каждой серии векторы получаются один из другого применением операторов или и соответствуют возможным значениям квантового числа

Однако этих гипотез недостаточно для полного решения проблемы собственных значений. Следует еще определить:

(i) какие целые и полуцелые значения действительно составляют спектр

(ii) сколько серий из линейно независимых векторов отвечают каждому из этих значений

Ответ на эти вопросы зависит от рассматриваемой задачи. Только из коммутационных соотношений нельзя, например, заранее исключить случай, когда принимает одно значение (целое или полуцелое) и существует только один набор линейно независимых векторов, отвечающих этому значению; пространство векторов состояний в этом случае -мерно. Такая ситуация встретится в разделе IV при рассмотрении спина.

Другой важный частный случай связан с моментом импульса I частицы, определяемым уравнением (1). В разделе II, где этот случай разбирается подробно, мы увидим, что спектр значений составляют все целые числа от 0 до а полуцелые значения отсутствуют.