§ 32. Представление неприводимых тензорных операторов. Теорема Вигнера — Эккарта
Наиболее важное свойство неприводимых тензорных опера торов отражено в теореме Вигнера — Эккарта:
В стандартном представлении 
базисные векторы которого обозначим 
матричный элемент 
стандартной компоненты данного неприводимого тензорного оператора 
порядка, 
равен произведению коэффициента Клебша — Гордана
на величину, не зависящую от 
Таким образом, справедлива формула
где величина 
которая называется приведенным матричным элементом, зависит от индексов 
и характеризует данный тензорный оператор (множитель 
введен для удобства).
Для доказательства теоремы рассмотрим 
векторов 
Образуем следующие линейные комбинации этих векторов:
Используя соотношения ортогональности для коэффициентов К. — Г. (ур. (110б)), получаем
Отметим, что векторы 
могут и не быть линейно независимыми, поэтому некоторые из векторов 
могут обратиться в нуль.
Из формул (123 а) и (124) вытекает, что
и, следовательно,
В силу рекуррентных соотношений (111) для коэффициентов К. — Г. выражение, стоящее в скобках, равно
и мы получаем в правой части вектор 
или, более Точно,
Тем же методом можно показать, что
Из этих трех соотношений следует, что 
векторов 
соответствующих одному и тому же значению 
либо все равны нулю;
либо являются (ненормированными) собственными векторами с моментом импульса 
и получаются один из другого стандартным способом.
Следовательно, все скалярные произведения 
обращаются в нуль за исключением тех, для которых 
произведений 
причем они не зависят от 
Отсюда следует приведенная выше теорема, поскольку 
ричный элемент 
с учетом (126) равен
Среди наиболее важных следствий теоремы Вигнера — Эккарта упомянем правила отбора для оператора 
.
Для того, чтобы матричный элемент 
был отличен от нуля, необходимо одновременное выполнение соотношений:
Эти соотношения непосредственно следуют из того факта, что в правой части формулы (125) стоит коэффициент
между двумя векторами с моментами 
обращается в нуль, если 
не удовлетворяет неравенствам: 