Раздел V. ОБЩИЕ СВОЙСТВА МАТРИЦЫ ПЕРЕХОДА

Ряд свойств Т-матрицы непосредственно следует из характерных свойств гамильтониана, который описывает столкновение. Некоторые из них уже отмечались в предыдущих разделах, однако не подчеркивалась их большая общность. Систематическое исследование этого вопроса будет проведено в настоящем разделе.

§ 30. Сохранение потока. S-матрица

Некоторые свойства Г-матрицы являются простым следствием эрмитовости описывающего рассеяния гамильтониана Н. Среди них полученные нами в § 19 интегральные представления (121) и (122). Используя тот же метод, мы получим два новых соотношения, которые называются соотношениями сохранения потока.

Используя обозначения § 19, рассмотрим две стационарных волны отвечающие одной и той же энергии Е. Имеем

Следовательно, величина, которая получается в левой части после суммирования по спинам и интегрирования по конечному объему в конфигурационном пространстве, равна нулю. Применяя теорему Грина, преобразуем эту величину в поверхностный интеграл, который имеет вид суммы членов, относящихся к различным каналам, в пределе, когда поверхность стремится к бесконечности (см. сноску к § 19). Находим

Сравним левую часть этого уравнения с правой частью уравнения (119). Для вычисления заменим функции их

асимптотиками в каждом канале, тогда получим

Вычисление вклада двух первых членов проводится тем же способом, что и в § 2. Третий член представляет собой сумму по всем каналам, включая которую легко вычислить, используя определение символа в отличие от вычислений § 19 вклад этого члена не равен нулю. Окончательно получаем

Заменяя согласно определению (114) матричными элементами Г-матрицы, получаем

Здесь обозначает плоскую волну в канале распространяющуюся вдоль и использовано определение плотности состояний

С другой стороны, определяется обычным эрмитовым сопряжением

Предыдущие преобразования можно проделать также, взяв вместо волны Тогда получим соотношение

которое связано с (179) заменой а на на Для вычисления левой части достаточно сделать необходимые подстановки в предыдущих выкладках и использовать определение

матричных элементов Т (114) вместо (114). Тогда получим

Приведем другое, более формальное доказательство соотношений (180) и (180). Из соотношений

вычитая их почленно и используя свойства (124) и (А.15в), получим

Предположим, что множество стационарных волн отвечающих непрерывному спектру Н (и дополненное множеством подходящим образом нормированных собственных векторов дискретного спектра, если последний существует), образует полное ортонормированное множество собственных векторов Н и, следовательно, справедливо соотношение замкнутости

(суммирование проводится по всему спектру Н, включая дискретный спектр). Предположим также, что и удовлетворяют соотношению замкнутости

Преобразуем скалярное произведение в правой части (181), используя (182), к виду

из которого следует соотношение (180). Таким же образом, используя (182), можно получить соотношение (180).

Матричные элементы Т и между любыми состояниями а и удовлетворяют уравнениям (180) и (180). Их можно за писать короче

подразумевая суммирование по опущенным индексам в произ: ведениях матриц т. е. для каждого индекса

следует учесть множитель дающий плотность состояний в канале Заметим, что все матричные элементы здесь берутся между состояниями с энергией Е.

Введем матрицу S

Эта матрица описывает столкновения при энергии Е, и так же, как для Г, ее матричные элементы определяются между состояниями с энергией Е. Выражая в уравнениях (180) и (180) через , находим

S-матрица унитарна.

Можно также показать, что если — оператор эволюции системы, то

Доказательство этого утверждения требует большой осторожности при переходе к пределам и здесь не приводится (см. 1-ю сноску к этой главе).