§ 11. Инвариантность уравнения Дирака при ортохронных преобразованиях системы координат

Принцип относительности требует, чтобы уравнение Дирака и уравнение непрерывности сохраняли одну и ту же форму в различных системах координат, связанных преобразованием Лоренца. В действительности, строго говоря, требуется инвариантность только по отношению к собственным преобразованиям Лоренца), однако теория инвариантна по отношению к полной группе. Рассмотрим вначале подробно инвариантность по отношению к ортохронной группе. Обращение времени, а также другие свойства инвариантности уравнения Дирака, не

связанные непосредственно с преобразованиями Лоренца, будут рассмотрены в конце этого раздела.

Будем считать, что динамическое состояние электрона в системе координат задается четырехкомпонентной волновой функцией, удовлетворяющей уравнению Дирака

Фиксируем некоторое представление для операторов в пространстве символы означают тогда вполне определенные матрицы, и соотношение (78) сводится к системе из четырех уравнений

для четырех компонент волновой функции.

Рассмотрим ту же физическую систему в новой системе координат связанной с исходной ортохронным преобразованием Лоренца

Преобразование характеризуется некоторой матрицей удовлетворяющей соотношениям (12), (13) и определяющей линейное соответствие между координатами хданной точки в системе и координатами той же точки в системе т. е. закон преобразования контравариантных векторов (ур. (11) и (15)). Символически можно записать

Операторы частных производных преобразуются, как ковариантные векторы

Если обозначить ковариантные компоненты электромагнитного потенциала в новой системе координат, то они связаны с по закону преобразования ковариантных векторов

Как функция новых координат удовлетворяет уравнению, которое получается из (78) после подстановки (80) и (81)

где

Матрицы унитарны и удовлетворяют соотношениям (66). Четыре матрицы не обязательно унитарны, но в силу ортогональности (соотношения (13)), они также удовлетворяют соотношениям (66), т. е.

В силу фундаментальной теоремы § 10 существует несингулярная матрица , которая преобразует матрицы у в у

Подставляя это соотношение в уравнение (82), вводя обозначение

и умножая слева на , получаем

Это волновое уравнение описывает эволюцию системы в новой системе координат, оно формально тождественно с (78). Таким образом, уравнение Дирака формально инвариантно относительно ортохронных преобразований системы координат, и закон преобразования волновой функции определяется уравнением (85).

В общем случае матрицу А, которая определена с точностью до постоянного множителя, нельзя выбрать унитарной. Однако мы покажем, что множитель всегда можно выбрать таким образом, чтобы

и произвол остается только в фазе.

Поскольку вещественны, а у унитарны и удовлетворяют соотношениям (75), то, сравнивая (83) и эрмитово-сопряженное соотношение, находим

Переходя от соотношения (84) к эрмитово-сопряженному и подставляя предыдущую формулу, получаем

Сравнивая эту формулу с (84), видим, что матрица коммутирует с четырьмя матрицами у и, следовательно, про порциональна единичной

Покажем, что постоянная с обязательно вещественна и положительна. Используя формулы (87) и (84), имеем

откуда, принимая во внимание (72), получаем: Поскольку след эрмитовой матрицы вещественный и положительный и число также вещественно и положительно, то приходим к искомому утверждению о постоянной с. Если матрицу разделить на новая матрица также будет -матрицей и будет удовлетворять уравнению (86).

Закон преобразования волновых функций (85) определяет закон преобразования сопряженных функций

откуда, с учетом (86), получаем

Используя этот закон преобразования, читатель без труда проверит, что сопряженное уравнение (64) также формально инвариантно относительно ортохронных преобразований си стемы координат.

Остается показать инвариантность уравнения непрерывности или что ток (определение (65)) преобразуется как контра вариантный -вектор

Последнее легко установить, используя (85), (88) и (84)

Условия (84) и (86) для каждого преобразования Лоренца определяют с точностью до фазового множителя. В данном случае эта фаза не имеет физического смысла.

Удобно устранить, насколько это возможно, произвол в фазе, потребовав, чтобы образовывали группу, гомоморфную орто хронной группе Лоренца (см. обсуждение в § XV. 8).

Условие (84), с учетом вещественности дает

откуда, вводя унитарную матрицу В (определение (76)), полу» чаем

Сравнивая это уравнение и уравнение (84), видим, что коммутирует с четырьмя матрицами и, следовательно, пропорциональна единичной матрице. Легко показать, вычисляя, например, что модуль коэффициента пропорциональности равен единице; другими словами

Так как А определена с точностью до фазового множителя, его всегда можно выбрать так, что в полученной формуле будет . В дальнейшем будем считать, что сделан именно такой выбор, тогда А определена с точностью до знака.

Таким образом, каждому ортохронному преобразованию Лоренца отвечают две матрицы А, отличающиеся знаком и определяемые тремя условиями:

Набор матриц А, удовлетворяющих этим условиям, образует группу, которая гомоморфна ортохронной группе Лоренца. В следующем параграфе мы увидим, что произвол в знаке А нельзя устранить, не нарушив при этом групповой структуры.