§ 10. Конечные группы. Отражения

Среди всех групп простейшей, безусловно, является группа отражений в точке. Она содержит всего два элемента, тождественный элемент и отражение При преобразовании полярные векторы меняют знак, а аксиальные векторы не меняются. Поскольку одновременно изменяют знаки, это преобразование сохраняет перестановочные соотношения орбитальных переменных, а также перестановочные соотношения компонент спина. Следовательно, оператор определяющий отражение, линеен. Он является унитарным оператором, удовлетворяющим соотношениям

которыми он определяется с точностью до фазы. Для того чтобы операторы и 1 образовывали группу, изоморфную группе отражений, мы должны потребовать выполнения равенства

которое фиксирует фазу с точностью до знака.

Оператор полностью определяется своим действием на базисные векторы представления, например, представления . Мы примем следующее определение:

которое согласовано с соотношениями (43) и (44) (задача 2). Тогда отражение волновой функции описывается соотношением

Таким образом, оператор совпадает с оператором четности, введенным в § XIII. 23. Он является наблюдаемой с двумя собственными значениями, ±1. Приведенное рассмотрение без труда можно распространить на случай систем, состоящих из нескольких частиц.

Отражение коммутирует со всеми вращениями . Произведения операций группы отражений и группы вращений образуют группу вращений и отражений. Отметим также, что коммутирует с любым оператором вращений, поскольку последние являются функциями полного момента импульса коммутирует с ибо согласно (43)

Итак, множество, образованное операторами и их произведениями, также образует группу. В случае, когда группа изоморфна группе вращений (полный спин — целый), эта группа изоморфна группе вращений и отражений. Если это не так (полный спин полуцелый), то полученная группа только гомоморфна группе вращений и отражений, и каждому элементу последней сопоставляются два оператора, отличающиеся знаком. В частности, двумя операторами, соответствующими чистому отражению, являются а тождественному отображению соответствуют операторы

Рассмотрим теперь другой тип отражения — отражение в плоскости. Пусть -отражение в плоскости, перпендикулярной единичному вектору является преобразованием группы вращений и отражений, а именно, произведением и вращения на угол вокруг и (или —u)

Заметим, что

Следовательно, образуют группу, и ее изучение можно скопировать с приведенного исследования отражений в точке. Помимо этого, используя соотношения (46), свойства одной из этих групп можно получить из свойств другой.

Мы рассмотрим только случай одной частицы. Оператор является линейным унитарным оператором, удовлетворяющим соотношениям

и его можно представить в виде

что

При таком выборе фазы имеем

в случае полуделого спина. Для получения образующего группу набора операторов преобразования отражению следует сопоставить два оператора

Еще одним примером конечной группы является группа перестановок подобных частиц, которая изучалась в главе XIV. Каждой перестановке был сопоставлен линейный унитарный оператор перестановки. Множество операторов, полученное таким образом, образует группу, изоморфную группе перестановок. Мы не будем возвращаться к этим вопросам здесь. Добавим лишь одно важное замечание. Перестановки коммутируют с пространственными преобразованиями, и из самого способа определения операторов перестановок следует, что они обладают тем же самым свойством по отношению к операторам пространственных преобразований.