§ 16. Разложение G(z), в ряд по степеням

Рассмотрим теперь собственно задачу теории возмущений. Резольвенты операторов Н и обозначим соответственно

Заметим, что

и, следовательно, является решением интегрального уравнения

Интегрируя это уравнение, получаем в виде разложения по степеням возмущения)

Используя обозначения § 8, найдем разложение Р по степеням возмущения. Для достаточно малых X в комплексной плоскости существует замкнутый контур, содержащий внутри себя невозмущенное собственное значение и собственное значение оператора Н, которое стремится к при и не содержащий каких-либо других собственных значений Н и Обозначим такой контур Согласно уравнению (58) имеем

Подставляя вместо разложение (62) и меняя порядок суммирования и интегрирования, получаем разложение Р в виде ряда по степеням К

где

Единственной особенностью функции внутри контура является полюс в точке порядка и согласно уравнению — вычет в этом полюсе.

Для вычисления вычета используем разложение в ряд Лорана в окрестности точки Коэффициенты разложения легко вычисляются из выражения (56) для резольвенты. Получаем

Следуя Като, введем обозначение

Тогда полученное разложение можно переписать в виде

Коэффициент в разложении в ряд Лорана равен Принимая во внимание разложение (66), находим

где означает суммирование по всем наборам неотрицательных целых чисел таких, что

Приведем несколько первых членов разложения Р:

Исходя из уравнения (59) и действуя таким же образом, получаем разложение . Находим

где

Итак,