§ 13. Симметрия Н и устранение вырождения

Предыдущие примеры (§§ 5, 7, 9, 10, 11, 12) показывают, насколько важно учитывать симметрию при вычислении сдвигов вырожденных уровней по теории возмущений. Существование вырожденных собственных значений можно почти всегда

связать с симметрией гамильтониана. Если известны группы инвариантности Н и Н, то можно предсказать изменение вырождения уровня под действием возмущения и значительно упростить вычисление возмущенных уровней.

Во всех приведенных примерах невозмущенный гамильтониан был инвариантен по отношению к некоторой группе а возмущение XV было инвариантно по отношению к некоторой подгруппе группы Так, в случае эффекта Штарка для жесткого ротатора (§ 7) была группой вращений и отражений, группой отражений по отношению к плоскостям, проходящим через ось (см. § XV. 14).

Воспользуемся обозначениями § XV. 11. Используя операторы можно построить наблюдаемые и М с собственными значениями соответственно. Каждому значению отвечает определенное неприводимое представление группы. Обозначим размерность этого представления. Для данного существует возможных значений параметризующих базисных векторов данного представления. Каждой паре отвечает некоторое подпространство пространства векторов состояния 8. Так как инвариантны по отношению к преобразованиям из , следовательно, коммутируют с и М, то задачу на собственные значения можно решать отдельно в каждом из подпространств Мы получим одинаковые спектры и вырождение в подпространствах, отвечающих данному значению

Допустим, что есть собственное значение с кратностью вырождения Тогда имеем

В подпространстве введение возмущения может с большей или меньшей полнотой устранить вырождение невозмущенной энергии (считаем Если Я инвариантен только относительно преобразований из группы то рассматриваемое вырождение, вообще говоря, устраняется полностью и мы получаем различных уровней. Следовательно, во всем пространстве введение возмущения расщепляет невозмущенный уровень самое большее на различных уровней, каждый из которых отвечает определенному значению и имеет кратность вырождения если в вырождение устранено полностью, в противном случае вырождение уровня кратно

Доказательство этих результатов использует только тот факт, что группой симметрии гамильтониана является есть непрерывная функция X, стремящаяся к при Эти результаты точны во всех порядках теории возмущений.

Если подпространство неприводимо по отношению к группе то сумма (51) будет состоять только из одного слагаемого и вырождение уровня не может быть устранено ни в каком порядке. Так происходит, когда инвариантен относительно тех же преобразований, что и Мы встречались с такой ситуацией, когда вычисляли кулоновскую энергию ядер (§ 5).

В примере § 7 G представляет собой подгруппу Размерность подпространства отвечающего собственному значению равна Оно неприводимо по отношению к и приводимо (если ) по отношению к . В данном случае (см. § XV. 14) оператором является с собственными значениями которые можно характеризовать квантовым числом размерность соответствующего неприводимого подпространства равда

В этом случае соотношение (51) принимает вид

Таким образом, возмущение расщепляет уровень на различных уровней, один из которых не вырожден при , а остальные двукратно вырождены. Именно это было установлено в § 7. Следует подчеркнуть, что такое использование симметрии позволяет только оценить сверху возможность снятия вырождения. Происходит ли это в действительности, можно сказать только после вычисления по теории возмущений до достаточно больших порядков. Так, в примере из § 7 пришлось вычислять до второго порядка включительно.