§ 19. Спин 1/2 и матрицы Паули
Пусть s — оператор внутреннего момента импульса (или вектор спина) частицы спина 
. Согласно гипотезе собственное значение 
равно 
Каждая из компонент, например 
может принимать одно из двух значений 
или —1/2. Будем предполагать эти собственные значения невырожденными. Следовательно, компоненты s будут операторами в пространстве двух измерений, где в качестве базисных векторов можно выбрать два собственных вектора операторов 
В этом базисе легко выписать матрицы, соответствующие операторам 
Это будут конкретные матрицы 
матричные элементы которых определяются уравнениями (28).
Кроме коммутационных соотношений для момента импульса, компоненты s удовлетворяют следующим замечательным 
ношениям:
Поскольку
получаем
Следовательно, операторы 
попарно антикоммутируют).
Удобно ввести матрицы Паули 
явный вид которых следующий:
Перечислим основные свойства этих матриц, которые следуют из их определения и легко проверяются, если воспользоваться
их явным видом,
Справедливо важное тождество (задача 9)
где 
два произвольных вектора 
Поскольку s есть момент импульса, то оператор 
преобразующий векторы данного пространства при вращении 
равен, согласно формуле (58),
где 
. Раскладывая экспоненту в ряд и суммируя по отдельности члены четные и нечетные по 
а также используя равенства (см. ур. (83))
получаем простое выражение
Отметим, что оператор вращения на 
равен —1, в соответствии с результатами § 15.
Оператор, отвечающий вращению 
в силу формулы (60) равен
Его явный вид можно вычислить тем же способом, что и для 
ответ приведен в Дополнении В (формула (В. 74)).
Векторы рассматриваемого здесь пространства аналогичны векторам обычного пространства. Последние представляют
собой геометрические объекты с тремя компонентами, которые при вращениях преобразуются друг через друга по определенному закону. Такую же ситуацию мы имеем и для рассматриваемых здесь векторов (закон преобразования (85)), за исключением того, что они имеют две компоненты вместо трех. Эти двухкомпонентные объекты называют спинорами.
