ГЛАВА XIV. СИСТЕМЫ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ. ПРИНЦИП ЗАПРЕТА ПАУЛИ

§ 1. Тождественные частицы в квантовой теории

Две частицы называются тождественными, если все физические свойства этих частиц в точности совпадают, что исключает возможность экспериментально различать их. В классической механике это свойство неразличимости тождественных частиц играет второстепенную роль, тогда как в квантовой механике с ним связаны серьезные проблемы.

Рассмотрим в качестве примера столкновение двух тождественных частиц и выясним, в какой степени тождественность этих частиц влияет на результаты теории.

Если система подчиняется законам классической механики, то ее динамическое состояние определено в любой момент времени заданием величин: — координата и импульс частицы 1 и — координата и импульс частицы 2. Эволюция системы определяется функцией Гамильтона, зависящей от 12 переменных

Если задан потенциал зависящий только от расстояния между двумя рассматриваемыми частицами, и если — масса этих частиц, то

Поскольку частицы тождественны, то их перестановка, т. е. приписывание динамического состояния частицы 1 частице 2 и vice versa, не должна влиять на динамические свойства системы. В частности, функция Я инвариантна относительно такой перестановки:

С другой стороны, состояние системы в любой момент времени можно определить лишь с точностью до перестановки индексов 1 и 2. Наблюдение системы в заданный момент времени показывает, что одна из частиц находится в некотором состоянии

а другая — в состоянии однако при этом нельзя определить, в каком именно состоянии находится каждая из рассматриваемых частиц. На первый взгляд может показаться, что это обстоятельство вызывает затруднение, однако, как мы увидим ниже, это затруднение — кажущееся. Предположим, что в момент времени одна из частиц находится в состоянии а другая — в состоянии Имеются две возможности: в состоянии 1 находится либо частица 1, либо частица 2. Однако оба варианта соответствуют одной и той же физической ситуации, ибо поскольку Н обладает свойством симметрии (2), законы движения частиц, находящихся в момент времени в состояниях и одинаковы в обоих случаях, что соответствует одной и той же ситуации. Нужно только прийти к соглашению о том, следует ли частицу, которая в начальный момент времени находится в состоянии назвать частицей 1, а частицу, находящуюся первоначально в состоянии частицей 2, или же поменять нумерацию этих частиц.

Ситуация становится сложнее, если двухчастичная система подчиняется законам квантовой механики. Начало предыдущего анализа можно дословно повторить. В этом случае снова тождественность двух частиц выражается в инвариантности гамильтониана относительно перестановки динамических переменных частиц или, говоря точнее, в инвариантности относительно указанной перестановки всех физически наблюдаемых величин. Как и в классической механике, это вызывает произвол в определении состояния системы, однако теперь этот произвол более существен, а его следствия — более серьезны.

Предположим, что из наблюдения, осуществленного над системой до столкновения, следует, что одна из частиц находится в состоянии а другая — в На практике, эти функции представляют волновые пакеты, локализованные в различных областях пространства, так что функции

линейно независимы. Начальное наблюдение не позволяет решить вопрос о том, находится ли система в состоянии или в . Более точно, наблюдение состоит в одновременном измерении определенного набора совместных переменных, а обе функции, являются собственными функциями, отвечающими одному и тому же набору собственных значений, полученных в результате измерения. Поскольку любая линейная

комбинация этих функций также обладает указанным свойством, то рассматриваемое наблюдение не позволяет определить, какая из линейных комбинаций соответствует исходному состоянию системы. В такой ситуации говорят о наличии обменного вырождения.

Исследуем теперь развитие системы во времени. Пусть -решения уравнения Шредингера, отвечающие соответственно начальным условиям Из свойства симметрии (2) гамильтониана следует, что эти решения получаются одно из другого перестановкой аргументов Удобно ввести функции симметричные и антисимметричные относительно такой перестановки

Они являются решениями уравнения Шредингера, соответствующими начальным данным

Если система в начальный момент времени находится в состоянии

то в момент времени она будет находиться в состоянии

Плотность вероятности обнаружить одну из частиц в точке а другую — в определяется равенством

Для того чтобы это выражение не зависело от а и следует потребовать, чтобы выполнялось равенство

Это равенство справедливо при всех до тех пор, пока частицы не взаимодействуют, а описывающие их волновые пакеты не перекрываются, и, вообще говоря, перестает быть справедливым, когда одно из этих условий не выполняется. В этом несложно убедиться, рассмотрев несколько конкретных ситуаций. Предположим, например, что две рассматриваемые частицы не взаимодействуют и свободно

перемещаются навстречу друг другу. В этом случае является произведением двух свободных волновых пакетов . В течение некоторого промежутка времени волновые пакеты будут перекрываться, т. е. существует область пространства, в которой обе функции отличны от нуля. Если точка из этой области, то

тогда как

при всех Другой интересный пример дает задача рассеяния на центральном потенциале. Она будет рассмотрена в § 9, где мы покажем, что амплитуда рассеяния для является суперпозицией сферических парциальных волн нечетного порядка, а для — суперпозицией волн четного порядка. В общем случае эти амплитуды различаются по абсолютной величине и, следовательно, дифференциальное сечение рассеяния будет существенно зависеть от отношения

Итак, существование обменного вырождения служит источником серьезных затруднений ибо препятствует получению точных теоретических предсказаний о статистическом распределении результатов измерений, осуществляемых над системой после столкновения.

Эта трудность может быть преодолена введением следующего постулата симметризации, фиксирующего коэффициенты a и b в линейной комбинации (3) и, таким образом, легко допускающего экспериментальную проверку.

Динамические состояния системы двух тождественных частиц либо все симметричны либо все антисимметричны относительно перестановки двух частиц.

Какая из двух указанных возможностей реализуется в действительности, зависит от физических свойств рассматриваемых частиц. Этот постулат несложно распространить на системы, содержащие любое число тождественных частиц. В общем виде он будет приведен в разделе I настоящей главы, где будут проанализированы также основные следствия этого постулата. Раздел II посвящен приложениям.

При изложении будут использоваться некоторые элементарные свойства перестановок. Все они приведены в § 14 Дополнения Г.