§ 6. Стандартное представление ...

Если Р и не образуют полного набора коммутирующих наблюдаемых, то для этих двух операторов существует много систем общих базисных векторов. Но даже в случае, когда они

образуют полный набор, фаза каждого базисного вектора может быть выбрана произвольной.

Среди представлений, в которых Р и диагональны, существуют такие, где оператор момента импульса действует осо бенно просто. Мы назовем их стандартными представлениями . В этих представлениях базисные векторы, отвечающие определенному значению квантового числа могут быть сгруппированы в одну или несколько серий из векторов, связанных соотношениями (19) — (20). Каждой серии отвечает подпространство а все гильбертово пространство является прямой суммой этих подпространств.

Для построения стандартного представления можно поступать следующим образом. Среди собственных векторов Р, отвечающих собственному значению , рассмотрим те, которые являются собственными для с собственным значением Такие векторы, в зависимости от обстоятельств, образуют в гильбертовом пространстве некоторое подпространство размерности один, два, или бесконечномерное. В всегда можно выбрать полный набор ортонормированных векторов Индекс служит для того, чтобы отличать векторы с угловым моментом один от другого и может, в зависимости от обстоятельств, принимать одно, два, или бесконечное множество значений (дискретных или непрерывных; для определенности, будем предполагать их дискретными). По предположению,

С каждым из этих векторов можно связать векторов, которые получаются последовательным действием оператора согласно правилам предыдущего параграфа. Так строится -мерное подпространство для того чтобы отличать эти подпространства друг от друга, будем обозначать их Базисными векторами в служат

Они ортонормированы и удовлетворяют основным соотноше ииям

Из (24) и (25) легко получить следующие важные соотношения (см. задачу 1):

Легко показать, что подпространства с фиксированным и различными х взаимно ортогональны и их объединение образует подпространство отвечающее собственному значению оператора Р.

Базисные векторы подпространств . ортогональны, если так как они отвечают различным собственным значениям то же справедливо и если так как последовательное применение (24) дает

Чтобы показать, что любой собственный вектор отвечающий собственному значению , является линейной комбинацией векторов переменные, — фиксировано), достаточно показать, что любой вектор с моментом является линейной комбинацией базисных векторов с тем же моментом импульса. Если то это следует из первоначального предположения. Если же то задачу можно свести к предыдущему случаю действия оператором на вектор и используя соотношения (26) и (27).

Итак, исходя из полного набора ортонормированных векторов с моментом импульса мы построили базисные векторы стандартного представления в подпространстве отвечающем собственному значению оператора Повторяя эту процедуру для всех допустимых собственных значений получаем стандартный базис во всем гильбертовом пространстве.

Отметим особенно простую форму матриц, задающих ком поненты оператора в таком представлении (см. задачу 2). Из равенств (23), (24) и (25) имеем