§ 11. Вращение физической системы. Оператор вращения

При обсуждении свойств физической системы, связанных с вращениями, — все сказанное ниже справедливо для любого преобразования пространства — можно принять одну из двух точек зрения, которые следует четко различать. Согласно первой (иногда ее называют пассивной) производят вращение координатных осей, оставляя фиксированной каждую точку Р пространства и связанные с ней физические величины. Согласно второй (иногда ее называют активной) фиксированными остаются оси координат, а вращают физическую систему. Обе точки зрения эквивалентны. Поворот координатных осей или поворот физической системы в противоположном направлении приводят к одному и тому же результату. Далее, если не оговорено противное, мы будем придерживаться второй точки зрения (будем вращать физическую систему).

Определение «вращения физической системы» в квантовой механике требует большей осторожности, чем в классической, так как связь между динамическими переменными и динамическими состояниями значительно сложнее. Рассмотрим для простоты вначале случай одной частицы. Обозначим а — возможное динамическое состояние частицы и соответствующую волновую функцию. Состояние, получаемое после вращения , обозначим а и соответствующую а волновую функцию

Когда мы говорим, что состояние а переходит при вращении в состояние а, мы имеем в виду, что результаты любых наблюдений над системой в состоянии а могут быть получены посредством вращения из результатов, которые дали бы те же

наблюдения, выполненные над системой в состоянии а. Рассмотрим, например, измерение координаты. Распределение вероятности для состояний а и а равно соответственно. Согласно приведенному выше утверждению последнее получается из первого при вращении , т. е. значение второй функции в данной точке равно значению первой функции в точке которая переходит в при вращении

Аналогично, если - волновые функции в импульсном пространстве, отвечающие то имеем

Ясно, что для того чтобы выполнялись все эти условия, достаточно равенства значений функции в точке и функции в точке т. е.

Можно показать, что это равенство является и необходимым условием . Следовательно, волновая функция определена однозначно.

Соотношение (47) устанавливает взаимно однозначное соответствие между . Ясно, что это соответствие — линейное, т. е. существует оператор такой, что

Оператор — унитарный, так как нормы равны,

(последний интеграл получается заменой переменной с учетом того факта, что при вращении сохраняется элемент объема

Все эти рассуждения без труда обобщаются на систему N частиц; при вращении волновая функция переходит в

Как и выше, оператор вращения — линейный и унитарный.

В общем случае, с каждым вращением физической системы связан унитарный оператор действие на вектор , представляющий динамическое состояние системы до вращения, дает вектор , представляющий ее динамическое состояние после вращения,

Используя закон преобразования (50) и определение оператора плотности, легко получить закон его преобразования. Пусть — оператор плотности, представляющий некоторое (чистое или смешанное) состояние системы, а оператор плотности, представляющий состояние, получившееся в результате вращения . Тогда имеем