§ 4. Классическая релятивистская динамика

Напомним динамические свойства классической релятивистской частицы с массой покоя зарядом в электромагнитном поле .

Обозначим скорость частицы

Определим релятивистскую массу М и механический импульс :

Набор есть -вектор, норма которого равна

и который направлен в будущее

Если нет внешнего поля, то частица двигается равномерно и прямолинейно: есть величина постоянная.

Во внешнем электромагнитном поле траектория частицы удовлетворяет уравнению

Это основное уравнение релятивистской динамики материальной точки. Вектор называется силой Лоренца.

Из уравнения (21) следуют уравнения:

которые определяют зависимости от времени массы и момента количества движения.

Если определить собственное время частицы по формуле

то приведенные соотношения можно записать в ковариантной форме. Определим -скорость

умножение которой на дает механический -импульс

Уравнения (21) и эквивалентны формально ковариантному уравнению

или

где — тензор электромагнитного поля

Приведенные уравнения движения можно вывести в рамках лагранжева или гамильтонова формализма (см. задачу 1.5). Импульс и энергия Е образуют -вектор который связан с соотношением

т. е.

Функция Гамильтона равна

что согласуется с соотношениями (24) и (20). Используя это равенство, получаем гамильтоновы канонические уравнения

Первое уравнение есть определение скорости, а второе эквивалентно уравнению (21), что легко установить, используя определения (ур. (7)) и равенство