§ 14. Приложения. Определение и формальные свойства Т-матрицы

Используя формальные свойства функций Грина, приведенные в § 13, можно получить большинство предыдущих результатов посредством простых алгебраических преобразований. Преимущество такой процедуры состоит в том, что с одной стороны, она формально очень проста, а с другой — легко поддается обобщению.

В частности, так получаются интегральные уравнения (81) и (82), которые можно записать в виде

Сравнивая асимптотическое поведение обеих частей уравнения (97), получаем соотношение (74).

Можно также показать, что справедливы соотношения

доказательство которых предоставляем читателю.

Можно также привести формальное определение Т. Соотношение (20) дает его матричные элементы только между плоскими волнами одинаковой энергии Е. Принимая во внимание уравнение (90), это соотношение можно, записать в виде

Обобщим это соотношение:

В этом определении Е играет роль параметра, а Т равно значению операторнозначной функции комплексной переменной

в пределе, когда z стремится к вещественному значению Е, оставаясь в верхней полуплоскости .

Преобразуя правую часть уравнения (101) с помощью тождеств (88а) и (886), легко получить следующие интегральные уравнения для оператора Т:

На практике обычно имеют дело с матричными элементами Т между свободными волнами с энергией Е, в частности, между плоскими волнами с энергией Е.

В качестве иллюстрации докажем соотношение микрообратимости (21), используя только формальные свойства Т. Обозначим через К (антилинейный) оператор обращения времени. Гамильтониан очевидно, инвариантен относительно обращения времени и, более того,

Предположим, что Н также обладает свойством инвариантности

т. е.

Из определений (84) и (101) последовательно получаем

и

Приведенный закон преобразования оператора Т относительно обращения времени позволяет заключить, что

Это есть соотношение микрообратимости.