§ 2. Обозначения и различные определения

Единицы. За редким исключением мы будем пользоваться системой единиц, в которой

и, следовательно, время имеет размерность длины, энергия, импульс и масса имеют размерность обратной длины, а электрический заряд является безразмерной величиной

Общие выражения могут быть легко восстановлены из соображений однородности.

Координаты. Задание момента времени и точки обычного пространства определяет точку пространства времени. Обозначим координаты этой точки — координата времени, а — три пространственных координаты: Мы будем использовать индексы 0, 1, 2, 3 для обозначения компонент четырехмерных векторов и тензоров по осям 0, 1, 2, 3 соответственно. Пространственно-временные компоненты -векторов или тензоров будем обозначать греческими буквами. Эти индексы могут принимать четыре значения: 0, 1, 2, 3; латинские буквы будем использовать для обозначения компонент в обычном пространстве, они могут принимать значения 1, 2, 3. Таким образом :

Метрический тензор, ковариантные и контр авариантные индексы. Пространство-время имеет псевдоевклидову метрику, которая задается метрическим тензором

или иначе

Следует различать ковариантные векторы (которые преобразуются как и контравариантные векторы (которые преобразуются как а также ковариантные и контравариантные компоненты тензоров. Следуя общепринятому соглашению, ковариантные индексы пишут внизу, а контравариантные — наверху. Так, а означает контравариантный вектор. Соответствующий ковариантный вектор получается применением метрического тензора:

что

Мы будем пользоваться соглашением о суммировании по повторяющимся индексам. При этом предыдущее выражение примет компактный вид

Операция поднятия индексов осуществляется применением тензора

В данном случае мы имеем

Кроме того,

где — символ Кронекера

Трехмерные векторы, четырехмерные век» торы, скалярное произведение. Мы сохраним обозначения, которыми пользовались ранее, для векторов обычного пространства или -векторов, обозначая вектор буквой жирного шрифта, а его длину — той же буквой обычного шрифта.

Три пространственных компоненты вектора аобразуют -вектор. Используя принятые обозначения, имеем следующее;

Иногда мы будем обозначать -вектор просто а, когда это не приведет к путанице с длиной -вектора а.

Скалярное произведение двух -векторов получается при свертке контравариантных компонент одного с ковариант» ными компонентами другого, т. е. или

Норма вектора равна

Классификация -векторов. Четырехмерные векторы можно разделить на три класса в соответствии со знаком их нормы:

Эта классификация соответствует положению вектора по отношению к световому конусу Два последних случая можно классифицировать в зависимости от знака временной компоненты:

Градиент. Дифференциальные операторы. Мы сохраним обозначения

Четыре оператора частных производных образуют ковариантный вектор, который мы обозначим символом

Это оператор градиента.

Мы будем использовать также «контравариантный градиент»

Определим оператор Даламбера (ср. § II. 12)

Тензор Тензор определяется как полностью антисимметричный тензор, компоненты которого равны 0, если какие-либо два индекса совпадают, если образуют четную перестановку индексов если образуют нечетную перестановку.

Электромагнитное поле. Электромагнитный потенциал состоит из векторной и скалярной частей, которые образуют четырехмерный вектор

Электрическое и магнитное поля определяются по формулам

Компоненты векторов образуют антисимметричный тензор в пространстве-времени согласно определению

что

Мы будем использовать также векторный оператор