§ 10. Слабая связь и рассмотрение по теории возмущений

При достаточно малых оператор Н можно считать малым возмущением и использовать методы, развитые в главах XVI и XVII.

Невозмущенный гамильтониан имеет вид

В теории возмущений используют представление, в котором диагонален оператор Мы будем пользоваться представлением, базисные векторы которого получаются следующим образом. Обозначим полный ортонормированный набор собственных векторов , рассматриваемого как оператор в пространстве — соответствующие собственные значения (расположенные в порядке возрастания). Умножая данный вектор этого множества на вакуумный вектор пространства получаем вектор пространства который для упрощения записи будем также обозначать Ясно, что

Полный ортонормированный набор собственных векторов оператора в пространстве можно получить, последовательно действуя операторами рождения на вакуумный вектор (см. ур. (16)). Точно так же полный ортонормированный набор собственных векторов Но в пространстве можно получить последовательным применением операторов рождения к каждому из определенных выше векторов Так будет получен требуемый базис. Пусть — один из векторов этого базиса и — соответствующая энергия

В динамическом состоянии частица находится в определенном собственном состоянии оператора Ячаст, а поле содержит определенное число квантов с заданными импульсами.

В дальнейшем мы будем пользоваться только векторами с небольшим числом квантов и параметризовать эти векторы будем греческой буквой, соответствующей динамическому состоянию частицы, и волновыми векторами каждого из квантов поля. Так, представляет состояние, которое получается

добавлением кванта с импульсом к частице в состоянии состояние, получающееся добавлением двух квантов с импульсами к частице в состоянии Отметим, что

Имеем также , если .

Характерная спектроскопическая диаграмма нижних уровней энергии гамильтониана изображена на рис. 24.

Рис. 24. Типичная схема расположения первых энергетических уровней оператора

В соот ветствии с обычными соглашениями о таких диаграммах (см. том 1, рис. 36 и 37) высота уровней над основным состоянием равна разности их энергий и энергии основного состояния; как следствие, уровни с одинаковой энергией расположены на одной высоте. Уровни на рисунке расположены в соответствии со структурой собственных состояний. В левом столбце находятся уровни состояний без квантов. Затем идут несколько столбцов, отвечающих состояниям с одним квантом, каждый столбец соответствует определенному квантовому состоянию частицы. Первый отвечает уровням когда частица находится в основном состоянии, уровни заполняют непрерывную зону (в пределе нижняя граница которой соответствует одному кванту с нулевым импульсом и, следовательно, удалена уровня основного состояния на расстояние . Второй столбец отвечает состояниям , где частица находится в первом возбужденном состоянии, и так далее. После уровней с одним квантом следуют уровни с двумя квантами, расположенные в виде столбцов, каждый из которых соответствует определенному квантовому состоянию частицы, и так далее.

Возмущение Н связывает различные уровни. В определенном выше представлении Н задается особенно простой матрицей. Из формулы (66) видно, что оператор Н имеет отличные

от нуля матричные элементы только между базисными векторами, для которых число квантов отличается на единицу. Легко вычислить эти матричные элементы, пользуясь свойствами операторов рождения и уничтожения. Находим

(Если , то в последнем выражении нужно добавить множитель ). Мы использовали обозначение

Независимо от того, насколько слабой является связь уровней, она ведет к качественному изменению спектра, поскольку большинство связанных состояний становятся неустойчивыми и частица может совершить переходы в состояния с меньшей энергией, излучая один или несколько квантов поля. Рассмотрим, например, изображенное на рис. 24 состояние оно расположено на том же уровне, что и некоторые состояния непрерывного спектра, а именно: состояния с одним квантом или и состояния с двумя квантами Введение малого возмущения связывает дискретные собственные состояния и состояния с одним квантом, состояния с одним квантом и состояния с двумя квантами и т. д. Следовательно, появляется возможность «радиационных» переходов из состояния в состояния непрерывного спектра, расположенные на том же уровне. Возможные переходы из состояния схематически изображены на рис. 25. Остаются устойчивыми только те связанные состояния, энергия которых в сравнении с энергией основного состояния достаточно мала и излучение кванта массы энергетически запрещено, т. е. состояния, энергия которых меньше . В примере на рис. 24 устойчивым является только основное состояние.

Появление в гамильтониане члена Я ведет также к сдвигу уровней связанных состояний. Как мы увидим, это эффект второго порядка. Тем не менее, он может влиять на устойчивость

Рис. 25. Радиационные переходы с уровня Двойная стрелка справа соответствует переходу на основнвй уровень с испусканием двух квантов. Это переход более высокого порядка.

различных состояний частицы, и моды «радиационных» пере ходов, поскольку даже малый сдвиг уровня может оказаться достаточным, чтобы сделать энергетически возможными некоторые «радиационные» переходы, которые были запрещены, или привести к обратной ситуации.