§ 8. Группы операторов преобразований

Пусть — множество преобразований Каждому элементу этого множества можно сопоставить оператор определяющий преобразование векторов и операторов в пространстве состояний. Оператор Т задается своими физическими свойствами только с точностью до фазового множителя, который мы пока оставляем произвольным. Мы получим множество операторов преобразования, элементы которого находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами из

Предположим теперь, что является некоторой группой Отсюда еще не следует, что множество является группой. Действительно, при указанном соответствии между произведения сохраняются только с точностью до фазового множителя. Для каждого произведения

имеем

где а — некоторая фаза, зависящая от выбора фазы

Для того чтобы было группой, надо чтобы все обращались в нуль. Тогда группа изоморфна группе 9.

Если фазы операторов могут быть выбраны так, чтобы было группой, то такой выбор, очевидно, является наиболее удобным. Такая возможность имеется для ряда групп, но не для всех. В частности, это возможно для группы перестановок (гл. XIV), но невозможно для группы вращений (§ XIII. 5), если система содержит нечетное число частиц с полуцелым спином. В последнем случае операторы вращений определяемые соотношением (XIII. 60), образуют группу, однако каждому вращению Я соответствуют два оператора отличающиеся друг от друга знаком. Если мы выберем один из них в качестве

элемента множества то мы установим взаимно однозначное соответствие между вращениями и операторами вращений, однако произведение сохранится лишь с точностью до знака и множество не будет группой.

Для получения множества операторов преобразования может оказаться необходимым сопоставлять каждому преобразованию не один оператор а набор операторов, отличающихся друг от друга фазовым множителем. Если набор выбран подходящим образом, то полученное множество операторов преобразования образует группу гомоморфную группе Пусть (-множество операторов, каждый из которых соответствует тождественному преобразованию Элементами множества (1) являются единичный оператор 1 и, возможно, другие операторы, получаемые из 1 умножением на фазовый множитель. Множество (1) является инвариантной подгруппой в группе а фактор-группа изоморфна (ср. § Г. 5).

Таким образом, можно построить много множеств имеющих структуру группы. Практически мы выбираем одно из них. Очевидно, что следует выбирать множество по возможности более простым. В результате мы получим группу операторов гомоморфную группе

Во всех случаях, встретившихся к настоящему времени в квантовой теории, всегда удается выбрать так, чтобы каждому элементу группы соответствовал либо один оператор из (изрморфизм), либо, если это не так, два оператора из различающихся знаком. Первый вариант всегда осуществляется в случае системы, содержащей четное число полуцелых спинов. Выше мы уже имели пример реализации второго варианта при рассмотрении вращений полуцелых спинов. Мы встретимся со вторым вариантом также при рассмотрении обращения времени. Более того, второй вариант всегда реализуется, когда система имеет нечетное число частиц с полуцелым спином.