§ 9. Определение и построение сферических функций

Общая собственная функция , отвечающая собственным значениям определена с точностью до постоянного множителя. Произвол исчезает, если нормировать ее на единицу и выбрать подходящее условие для фазы. Таким образом, получаем сферическую функцию порядка которую будем обозначать

Функции образуют ортонормированную систему функций от 0 и с элементом объема в интеграле для скалярного произведения. Примем без доказательства утверждение о полноте этой системы.

Фиксируем фазы следующим образом. Потребуем прежде всего, чтобы образовывали стандартный базис. Для этого достаточно, чтобы они удовлетворяли уравнениям (24) — (25), записанным в представлении Тем самым определены относительные фазы сферических функций, отвечающих данному значению и остается только фиксировать фазу одной из них, например Потребуем, чтобы величина была вещественным и положительным числом.

Если обозначить через векторы, которым в представлении отвечают сферические функции то они удовлетворяют уравнениям (24)-(25) и, следовательно, (ур. (26))

Другими словами,

или

Явные выражения для дифференциальных операторов приведены в приложении Используя их, получаем

При любой выражение в скобках следует рассматривать как оператор, действующий на функцию стоящую справа от него. Следовательно, последовательное применение или к функции дает ( целые)

Из рассуждений, приведенных в § 8, нам известно, что

где — константа, модуль которой определяется условием нормировки откуда

а фазу следует определить согласно принятому выше условию.

Подставляя выражение в уравнение (33) и принимая во внимание тождество (35), получаем

При отсюда имеем

Подставляя это выражение в уравнение (34) и вновь используя тождество (35), получаем новое эквивалентное предыдущему выражение для

При эти выражения совпадают

С точностью до множителя получили полином Лежандра

Условие вещественности и положительности определяет выбор фазы

Тем самым полностью определены выражения (37) и (39) для .

Большинство свойств сферических функций, которые перечислены в Дополнении Б, можно легко получить из компактных формул (37) и (39). Отметим, в частности, что

является произведением и полинома по степени и четности , а четность (задача 4) равна , т. е.