§ 4. Спектр операторов

Так как коммутирует с каждой компонентой векторного оператора то можно построить полный набор собственных функций Р и одной из компонент, например, Тот факт, что — эрмитовы операторы, удовлетворяющие коммутационным соотношениям (3), накладывает жесткие ограничения на спектр собственных значений.

Оператор Р — положительно определен и эрмитов, так как он является суммой положительно определенных эрмитовых операторов. Его собственные значения с необходимостью положительны (или равны нулю). Следовательно, их можно представить в форме и параметризовать вещественным квантовым числом

Пусть — какой-либо собственный вектор операторов Р и отвечающий собственным значениям и соответственно. Будем говорить, что определяет состояние с моментом импульса . Если Р и не образуют полного набора коммутирующих наблюдаемых, то могут существовать несколько линейно-независимых состояний . В этом случае — один из кет-векторов, выбранный в подпространстве, соответствующем моменту импульса Рассуждение, следующее ниже, справедливо для любого такого вектора. Единствен условия, которым должен удовлетворять вектор следующие:

Рассмотрим векторы и Из тождеств (9а) и (9б) имеем

Тем самым нормы векторов равны

В силу одной из аксиом гильбертова пространства эти нормы не могут быть отрицательны и, следовательно,

отсюда

Более того, так как равенство нулю нормы есть необходимое и достаточное условие равенства нулю вектора, то имеем тогда и только тогда, когда точно так же тогда и только тогда, когда Поскольку обязательно находится в интервале эти условия сводятся к и соответственно.

Если то (отличный от нуля) вектор является вектором с моментом импульса Используя (8), получаем

и так как согласно (7а)

то мы имеем

Используя тот факт, что коммутирует с Р, и то, что согласно (76)

получаем аналогичный результат для

В результате мы доказали важную теорему:

Если — вектор с моментом импульса и нормой то

если -вектор с моментом импульса и нормой

если то — вектор с моментом импульса и нормой

Рассмотрим теперь векторы, получаемые последовательным действием оператора на вектор

Известно, что Если то Если — ненулевой вектор с моментом Следовательно, он обладает всеми свойствами характерными для любого общего собственного вектора операторов а значит, . Если , то .

Если же то ненулевой вектор с моментом и также обладает свойствами Таким образом, можно последовательно продолжать анализ свойств векторов (13). Ясно, что эта последовательность должна когда-то оборваться, в противном случае мы смогли бы построить собственные векторы отвечающие собственным значениям, превосходящим любое наперед заданное число, что противоречит неравенствам (12), согласно которым значения не могут быть больше Следовательно, существует целое число такое, что — ненулевой вектор с моментом импульса действуя на который оператором получаем нуль. Тем самым имеем Итак, мы показали, что — целое число и что векторов

описывают состояния с определенным моментом импульса, отвечающие собственному значению оператора и собственным значениям

оператора соответственно.

Подобное рассмотрение векторов, получаемых последовательным применением оператора к вектору показывает, что также является целым числом и что векторов

описывают состояния с определенным моментом импульса, отвечающие собственному значению оператора ственным значениям

оператора соответственно. Так как и неотрицательные целые числа, то их сумма также является неотрицательным целым числом.

Объединяя эти утверждения, получаем следующую основную теорему:

(A) Собственные значения оператора Р имеют вид где — неотрицательное целое или полуцелое число

(B) Собственными значениями оператора могут быть только целые или полуцелые числа

(C) Если собственные значения операторов Р и отвечающие общему собственному вектору этих двух операторов, т. е. состоянию с моментом импульса то возможны следующие значений