§ 19. Обращение времени и зарядовое сопряжение

В этом параграфе мы покажем, что уравнение Дирака инвариантно относительно двух антилинейных операций: обращения времени и зарядового сопряжения. Для этого в пространстве векторов состояния удобно ввести антиунитарный оператор который имеет очень простые свойства.

Антиунитарный оператор К. Определим антиунитарный оператор К, который переводит и не изменяет

Мы покажем, что такой оператор существует, определен с точностью до фазового множителя и

То, что оператор К, если он существует, определен с до фазового множителя, следует из соотношений (119), (120) и неприводимости пространства векторов состояния по отношению к базисным операторам Выберем какое-либо представление, например, представление Дирака. Тогда каждый оператор задается некоторой матрицей Обозначим оператор, который задается «матрицей В», преобразующей в их комплексно сопряженные. Мы будем рассматривать как (унитарный) оператор, действующий во всем пространстве, а не только в спиновом. Это унитарный оператор, который коммутирует с Пусть К — оператор комплексного сопряжения, связанный с данным представлением (определение § XV. 5). Соотношения (76) дают

Следовательно, антиунитарный оператор

удовлетворяет соотношениям (120). Поскольку коммутирует с а из определения имеем

то К удовлетворяет также соотношениям (119). Наконец, так как равенство (77) дает

т. е. соотношение (121). Очевидно, что при умножении К на фазовый множитель эти свойства сохраняются.

Зарядовое сопряжение. Умножая обе части уравнения (107) слева на К и используя тот факт, что оператор К антилинеен и коммутирует с получаем

Следовательно, удовлетворяет волновому уравнению, которое отличается от уравнения Дирака заменой на Умножим получившееся уравнение на Так как антикоммутирует с и коммутирует с остальными операторами, стоящими в скобках, имеем

Положим

Уравнение (123) примет вид

Уравнения, которым удовлетворяют функции отличаются знаком заряда. Таким образом, если описывает движение дираковской частицы массы и заряда в потенциале то описывает движение дираковской частицы той же массы и противоположного заряда в том же потенциале

Спиноры и называются зарядово-сопряженными друг к другу, а преобразование — зарядовым сопряжением.

Из свойств К и следует, что

Тем самым, соответствие между взаимно обратное. Легко показать, что зарядовое сопряжение коммутирует с трансляциями и ортохронными преобразованиями Лоренца. Точнее,

если спинор при одном из этих преобразований переходит в , то зарядово-сопряженным к последнему будет спинор в случае трансляций и собственных преобразований Лоренца и — в случае отражения (см. задачу 5).

Обращение времени. Инвариантность уравнения Дирака по отношению к обращению времени можно доказать непосредственно, но в данном случае мы используем результаты о зарядовом сопряжении.

Вектор-потенциал создается некоторым числом движущихся зарядов. Соответствующий ему при обращении времени потенциал получается при обращении движения этих зарядов. Токи и, следовательно, магнитное поле меняют знак, а электрические заряды и, следовательно, электрическое поле остаются неизменными

Отсюда следует, что «преобразуется как псевдовектор»

Если в уравнении (126) сделать замену на то получим

Умножим полученное уравнение на Поскольку этот оператор антикоммутирует с и коммутирует с имеем

где

Введем (антиунитарный) оператор обращения времени

Спинор является, по определению, преобразованием при обращении времени. Он удовлетворяет уравнению (128). Следовательно, если удовлетворяет уравнению Дирака с потенциалом спинор Ф, получающийся при обращении времени, удовлетворяет уравнению Дирака с потенциалом который при обращении времени получается из

В частности, если потенциал инвариантен по отношению к обращению времени (например, если частица находится в статическом электрическом поле: то удовлетворяют одному и тому же уравнению Дирака.

Из свойств и К следует, что

Это результат, характеризующий системы с полуцелым моментом импульса, уже был получен в нерелятивистском случае (ур. (XV. 88)). Все следствия, которые из него вытекают, на пример, вырождение Крамерса, справедливы и в данной ситуации.

Выразив оператор в терминах и а (см. конец § 10), из определений (124) и (130) легко получить равенства

которые используются при работе с операторами в представлении Дирака.