§ 25. Центральный потенциал

Исследуем состояния дираковской частицы, находящейся в статическом центральном потенциале Гамильтониан Ди рака в этом случае имеет вид

Он инвариантен относительно вращений и отражений

Таким образом, мы можем искать решения, соответствующие определенному моменту импульса и четности.

Удобно записать решение в виде

где

Проектируя на подпространства, отвечающие находим

Функции Ф и х зависят от и компоненты спина по оси Их можно рассматривать как функции радиальной переменной и «угловых переменных» в полной аналогии с волновыми функциями теории Паули.

Будем считать, что есть собственная функция операторов и Р. Квантовые числа момента импульса обозначим Четность будем указывать посредством квантового числа со такого, что

Итак, согласно предположению,

Пусть — функция с полным моментом образованная композицией собственных векторов для спина 1/2 со сферическими функциями порядка Четность этой функции равна . В силу теоремы о сложении моментов импульса может принимать только два значения

а функции имеют противоположную четность: соответственно. Из уравнений (161)

заключаем, что функция Ф, зависящая от отвечает моменту импульса и четности . Следовательно, эта функция равна произведению функции от на Аналогично, функция х равна произведению функции от на

Итак, если описывает состояние с моментом импульса и четностью то эта функция может быть представлена в виде

где I и I определяются равенствами (162), а и G — произвольные функции от

Рассмотрим теперь уравнение на собственные значения

Следуя методу, использованному в главе IX, проведем в операторе разделение «угловых» и радиальных переменных. Введем радиальный импульс и «радиальную скорость»

Воспользовавшись тождеством (XIII. 83), получаем

Отсюда, после умножения слева на и использования равенства следует тождество

Исследуем оператор Легко показать, что

Далее, из формулы (161) ясно, что действие на сводится к умножению на

Следовательно,

Подставляя соотношения (167) и (168) в уравнение (164), получаем

Воспользуемся в этом уравнении выражением (163) для собственной функции, определениями (165) и (166) операторов и равенствами (задача 8)

Тогда уравнение перейдет в систему из двух дифференциальных уравнений для радиальных функций

Эти уравнения аналогичны уравнению (IX. 20) нерелятивистской теории.

После интегрирования по углам для нормы функции получаем выражение

которое естественно сравнить с формулой (IX. 21).

Обсуждение свойств регулярности функций можно провести в полной аналогии с тем, что было сделано для функции в нерелятивистской теории. На деталях мы здесь не останавливаемся.