и 
, то его собственными значениями могут быть только ±1. Более того, с каждым собственным вектором 
можно связать другой собственный вектор, отвечающий собственному значению противоположного знака. Рассмотрим, например, вектор 
такой, что 
Тогда в силу антикоммутативности 
для вектора 
получим 
. В результате имеем 
Следовательно, пространство, натянутое на векторы 
инвариантно по отношению к действию операторов 
и по отношению к функциям от этих операторов (а именно 
Из способа построения пространства видно, что оно неприводимо, следовательно, нами построено искомое пространство 
. В представлении, где базисными векторами являются 
операторы 
задаются матрицами Паули (см. § XIII. 19 или формулу 
Сведем задачу построения 
к предыдущей. Рассмотрим операторы 
определяемые равенствами
Четыре основных оператора выражаются через 
и о по формулам
Таким образом, построение 
свелось к построению пространства, неприводимого по отношению к операторам 
и а. Легко показать, что:
(i) каждый оператор 
коммутирует с каждым а;
(ii) а — три антикоммутирующих эрмитовых оператора, квадраты которых равны единице;
(iii) р — три антикоммутирующих эрмитовых оператора, квадраты которых равны единице.
Следовательно (см. § VIII. 7):
(i) 
есть тензорное произведение
пространства 
неприводимого по отношению к 
и пространства 
неприводимого по отношению к а;
(ii) размерность равна двум и оно может быть построено приведенным выше способом;
(iii) размерность 
также равна двум и оно может быть построено тем же способом.
Таким образом, размерность пространства 
равна четырем.
В следующих разделах мы покажем, что операторы о связаны со спином, 
знаком энергии, поскольку уравнение
Дирака, так же как и уравнение Клейна — Гордона, имеет решения с отрицательной энергией. В частности, мы увидим, что а есть полярный векторный оператор, а 
аксиальный векторный оператор. Кроме того, формально имеем
Оператор спина электрона есть 
, а знак энергии определяется собственным значением оператора 
Динамическое состояние электрона определяется волновой функцией 
имеющей 4 компоненты, что в два раза больше, чем в нерелятивистской теории частицы со спином 
Представление, в котором 
и а задаются матрицами Паули (см. ур. (VII. 65) - (VII. 66)), называется представлением Дирака. В этом представлении каждая компонента отвечает определенной ориентации спина по оси 
и определенному знаку энергии.
Операторами в этом пространстве являются четыре основных оператора: 
и различные функции от этих операторов. Пространство 
должно быть неприводимым по отношению к этому набору операторов.
мы используем свойство эрмитовости четырех основных операторов и соотношения (40), которые определяют их алгебраические свойства.
нерелятивистской теории спина 1/2. В этом случае размерность пространства 
спиновых переменных равна двум. Оно строилось следующим образом. Так как 
— эрмитов оператор
