Раздел IV. ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ И ПРИНЦИП МИКРООБРАТИМОСТИ

§ 15. Сдвиги во времени и сохранение энергии

Среди всех преобразований, затрагивающих время, простейшими являются временные сдвиги. В классической механике инвариантность уравнений движения относительно временных сдвигов приводит к хорошо известному закону сохранения энергии (это требует независимости от времени функции Гамильтона). Мы получим аналогичное свойство в квантовой механике.

Пусть — возможное решение уравнений движения. Инвариантность уравнений движения системы относительно временного сдвига эквивалентна наличию другого решения описывающего в момент времени то динамическое

состояние, которое в момент времени описывалось исходным решением, т. е.

Для того чтобы каждое решение уравнений движения обладало таким свойством, необходимо, чтобы оператор удовлетворял равенству

где является фазой, которая может зависеть от . Для бесконечно малого положив имеем

т. е.

Если закон движения инвариантен относительно произвольных временных сдвигов, то (64) должно выполняться для всех т. Иными словами, гамильтониан постоянен с точностью до добавления (вещественной) функции времени. В действительности, эту функцию можно положить равной нулю без изменения каких-либо физических свойств системы. Замена гамильтониана его значением в момент времени сказывается лишь в домножении на фазовый множитель (задача 6).

Итак, мы можем предполагать независимость гамильтониана от времени при инвариантности уравнений движения относительно временных сдвигов. Это предположение будет использоваться во всех приводимых ниже рассмотрениях. В этом случае уравнение (64) сводится к инвариантности при временных сдвигах