§ 8. Всегда ли необходимо симметризовать волновую функцию?

Рассмотрим систему тождественных частиц. Если частицами являются электроны, то состояние системы описывается антисимметричной волновой функцией. Однако во вселенной имеются не только эти электроны. Отказ от учета влияния других электронов и рассмотрение системы электронов в виде целого, отделенного от всего остального, предполагает, что на динамические свойства рассматриваемых электронов не влияет наличие других электронов. Возникает вопрос, является ли такое предположение хорошо обоснованным или существуют определенные корреляции между электронами исследуемой системы и другими электронами, не входящими в нее, что означало бы несправедливость рассматриваемого предположения.

В практических приложениях все электроны системы содержатся внутри некоторой области D пространства, а интересующие нас динамические свойства соответствуют измерениям, которые следует проводить внутри этой области. Оказывается, что

наличие других электронов можно попросту не учитывать до тех пор, пока они остаются вне области D, и до тех пор, пока их взаимодействие с электронами системы остается пренебрежимо малым. Этот результат имеет общий характер и в одинаковой степени применим как к фермионам, так и к бозонам. Докажем его для специального случая системы, состоящей из двух фермионов.

Если пренебречь наличием всех остальных частиц, то динамическое состояние двух фермионов описывается нормированной антисимметричной волновой функцией где 1 и 2 обозначают координаты и компоненты спина частиц 1 и 2 соответственно. В общем случае, заданное состояние системы, скажем состояние описывается антисимметричной нормированной волновой функцией Если в заданный момент времени система находится в состоянии то ее динамические свойства в этот момент времени определяются набором вероятностей

В реальной ситуации два рассматриваемых фермиона составляют часть системы из N фермионов. Рассмотрим вопрос о том, совпадают ли полученные динамические свойства с теми, которые могут быть найдены при учете существования остальных фермионов. Пусть нормированная антисимметричная волновая функция, описывающая динамическое состояние остальных фермионов. Если фермионы 1 и 2 не тождественны с фермионами то состояние всей системы описывается волновой функцией

и сохраняет это свойство факторизуемости до тех пор, пока взаимодействие между двумя выделенными фермионами и остальными фермионами системы остается пренебрежимо малым. В действительности же, вектор корректно описывающий состояние всей системы, пропорционален антисимметричному вектору , где А — оператор антисимметризации N частиц (определение (26)).

По предположению, волновые пакеты и не перекрываются, иначе говоря, с достоверностью известно, что два фермиона находятся внутри указанной области D пространства, тогда как остальные расположены вне D. Более того, нас интересуют только динамические свойства двух фермионов, находящихся внутри D.

Обозначим нормированную антисимметричную волновую функцию, обращающуюся в нуль в случае, когда какие-либо из координатных векторов

находятся внутри D. Волновая функция описывает состояние системы из фермионов, находящихся вне D. По предположению, является функцией такого типа. Если функции образуют полный ортонормированный базис функций указанного вида, то

Обозначим произвольную нормированную антисимметричную волновую функцию частиц 1 и 2, обращающуюся в нуль, когда хотя бы один из векторов, или находится вне D. Следовательно, х описывает два фермиона, находящихся внутри D. По предположению функция имеет такой вид.

Перестановки N частиц можно разбить на два класса в соответствии с их действием на вектор Перестановки первого типа, обозначаемые изменяют только знак вектора Имеется всего перестановок, меняющих местами частицы 1 и 2 или переставляющих частицы друг с другом. Таким образом,

Все остальные перестановки переставляют по крайней мере одну из частиц 1,2 с одной из остальных частиц. Следовательно описывает состояние, в котором по крайней мере одна из частиц находится вне D, так что этот вектор ортогонален любому вектору

Далее, получаем следующее тождество:

Заметим, что норма вектора равна

Нам надо определить вероятность того, что два фермиона, расположенные внутри D, находятся в состоянии . Если бы оставшихся фермиона были отличны от этих двух, то состояние системы описывалось бы вектором а искомая вероятность определялась бы по формуле

Поскольку все N фермионов тождественны, состояние системы имеет вид

а искомая вероятность есть вероятность обнаружить систему в одном из состояний, описываемых ортонормированными антисимметричными векторами

т. е.

Из (42) и (43) следует

что совпадает с (41).

Итак, результат, который получен в пренебрежении остальными фермионами, является корректным.