§ 18. Система n фермионов спина 1/2

Симметрия состоянии тождественных спинов.

Теорема. Пространство векторов состояний тождественных спинов с полным спином отвечает неприводимому представлению группы Диаграмма Юнга этого представления соответствует разбиению (т. е. имеет не более двух строк).

Следствие I. Если то существует одно антисимметричное состояние со спином и три линейно независимых симметричных состояния со спином

Следствие II. Если то антисимметричных состояний нет; существует линейно независимых полностью симметричных состояний, а именно, состояний, для которых полный спин имеет максимальное значение

Доказательство. Размерность пространства которое образовано векторами состояния спинов равна Динамические состояния индивидуального спина с номером отвечающие собственным значениям оператора обозначим соответственно. Взяв все возможные произведения из таких векторов и и о, получим ортонормированный базис в . Приведем пример базисного вектора

Это собственный вектор компоненты оператора полного спина

соответствующее собственное значение равно Действуя на дсеми перестановками, мы получаем

различных векторов, которые натягивают подпространство, отвечающее собственному значению М. Каждый из этих векторов содержит векторов типа векторов типа .

Подпространство с заданным значением М можно разложить на ортогональные подпространства, отвечающие различным возможным собственным значениям оператора Соответствующее квантовое число S может принимать значений: Подпространство, образованное векторами с полным спином обозначим Поскольку операторы коммутируют со всеми перестановками, каждое этих подпространств определяет некоторое представление группы Более того, поскольку и также коммутируют со всеми перестановками, то представления, которые определяются двумя подпространствами с одним и тем же значением эквивалентны.

Докажем теперь следствие II (следствие I очевидно). Для доказательства достаточно рассмотреть проекции векторов ортонормированного базиса в на пространство симметричных состояний и на пространство антисимметричных состояний. Это легко сделать для определенных выше базисных векторов. Коль скоро то любой вектор базиса содержит не меньше двух отдельных спинов в одинаковом состоянии и или V. Допустим, что в С имеется множитель тогда в силу равенств имеем . С другой стороны, существует одна и только одна полностью симметричная линейная комбинация базисных векторов подпространства, отвечающего собственному значению М, а именно, сумма всех базисных векторов. Поскольку это верно для любого возможного значения М, то такой полностью симметричный вектор обязательно соответствует максимальному значению полного спина Это завершает доказательство следствия II.

Приведенное выше рассуждение с А можно повторить, используя антисимметризатор , и получить, что если диаграмма Юнга содержит больше двух строк. Осюда следует, что диаграммы Юнга для неприводимых компонент представления группы которое порождено пространством имеют, самое большее, две строки.

Пусть — разбиение числа удовлетворяющее этому условию. Число неприводимых компонент Рравно числу линейно независимых векторов типа Для перечисления последних достаточно рассмотреть табл. I.

Таблица 1. Таблица (см. скан)

Мы можем разделить спинов на два множества: элементов первой строки, для которых нет соответствующих

элементов во второй, и пар элементов, расположенных в соответствующих столбцах. Обозначим полные спины этих множеств

Пусть

— проектор на состояния, симметричные относительно перестановок спинов первого множества. Ясно, что

Однако по определению оператор — проектор на синглетное состояние каждой из пар спинов второго множества. Существует только один вектор, обладающий таким свойством (следствие I), этот вектор соответствует спину Оператор проектирует векторы состояний первого множества на подпространство размерности отвечающее наибольшему возможному значению (следствие II), а именно, Таким образом, проектор на подпространство размерности отвечающее значению полного спина . В силу того, что проектор коммутирует с действуя на векторы этого подпространства, он либо аннулирует их всех, либо преобразует их в векторы с тем же полным спином. Первая возможность исключается, в противном случае в не существовало бы векторов с полным спином — а из второй возможности следует приведенная выше теорема.

Построение полностью антисимметричных векторов. Динамические состояния фермионов спина принадлежат тензорному произведению определенного выше пространство и пространства орбитальных переменных &т. Последнее можно разложить на взаимно ортогональные, неприводимые подпространства инвариантные по отношению к группе . В подпространстве определено некоторое неприводимое представление индекс а нумерует подпространства, в которых задано одно и то же неприводимое представление. Для того чтобы построить полный набор ортогональных антисимметричных векторов, достаточно построить их в каждом из подпространств . В этом подпространстве имеется столько линейно независимых антисимметричных векторов, сколько раз компонента А встречается в разложении представления, заданного в этом подпространстве. Следовательно (§ 17), число таких векторов равно числу неприводимых представлений участвующих в разложении представления, заданного в Если диаграмма содержит более двух столбцов, то таких векторов нет. Если диаграмма содержит не более двух столбцов и если мы в согласии с приведенной выше теоремой положим

тогда имеется неприводимых представлений, и антисимметричные векторы, которые можно образовать в этом случае, являются собственными векторами оператора соответствующими полному спину

Не зависящие от спина скалярные наблюдаемые. -связь. Независимую от спина скалярную наблюдаемую Q можно

рассматривать как наблюдаемую пространства инвариантную относительно вращений и перестановки только орбитальных переменных

Пространство есть прямая сумма подпространств размерности , которые неприводимы поотношению к группам вращений и перестановок. — квантовое число момента импульса, — разбиение, отвечающее представлению — дополнительное квантовое число, нумерующее эквивалентные подпространства. В частности, подпространства можно выбрать так, чтобы наблюдаемая Q в каждом из них была равна некоторой константе (см. § 9).

Собственные векторы Q, отвечающие собственному значению являются антисимметричными векторами подпространства Исходя из предыдущих рассуждений, такие векторы можно построить, только если содержит не более двух столбцов. В этом случае разбиение однозначно определяется квантовым числом Подпространство антисимметричных векторов в отвечает определенному значению S полного спина системы частиц. Это подпространство имеет размерность нем можно найти собственные векторы полного момента импульса и полного спина

которые образуют стандартный базис