§ 9. Непрерывные группы и инфинитезимальные преобразования. Трансляции. Вращения

В качестве иллюстрации общей теории построим группы операторов для некоторых групп Сперва рассмотрим непрерывные группы, которые имеют бесконечное число элементов,

зависящих от одного или нескольких непрерывно меняющихся параметров, точнее, те группы, у которых все конечные преобразования могут быть представлены рядами инфинитезимальных. Это справедливо для группы вращений и группы пространственных трансляций. В этом случае для получения преобразования наблюдаемых под действием любого элемента группы оказывается достаточным установить лишь преобразование наблюдаемых под действием инфинитезимальных операций. Каждому инфинитезимальному преобразованию группы можно сопоставить инфинитезимальный оператор преобразования, т. е. унитарный оператор, бесконечно мало отличающийся от 1.

Предположим для простоты, что элемент группы зависит лишь от одного непрерывного параметра и что последний выбран так, что

В первом порядке по оператор, соответствующий имеет вид

где — эрмитов оператор (так как Т унитарен).

Если наблюдаемая преобразуется в при преобразовании то мы имеем

т. е.

При заданном преобразовании величины известны и соотношения (38) определяют с точностью до постоянной.

Рассмотрим, для примера, смещение частицы вдоль оси Пусть координата, импульс, спин частицы. При трансляции на расстояние а вдоль оси девять основных переменных инвариантны, за исключением х, которая переходит в

В частности, при инфинитезимальном преобразовании , а все остальные вариации обращаются в нуль. Соответствующий эрмитов оператор в удовлетворяет перестановочным соотношениям

что

где — произвольная вещественная постоянная, которую мы положим равной нулю. Это изложение легко распространяется на случай трансляций N частиц и дает

где — компонента вдоль оси полного импульса системы N частиц.

Инфинитезимальному сдвигу таким образом, соответствует инфинитезимальный унитарный оператор

Оператор конечного преобразования можно выбрать в виде

что легко проверяется подстановкой этого выражения в соотношение (39).

Полученные таким образом операторы образуют группу, изоморфную группе сдвигов вдоль оси . В частности, мы имеем

Группа сдвигов вдоль оси является подгруппой группы трансляций. Конкретный сдвиг определяется вектором а, задающим смещение динамических состояний системы. Группа трансляций, таким образом, зависит от трех непрерывных параметров — компонент вектора а. Закон композиции в этой, группе имеет вид

Обобщая полученные выше результаты на случай произвольных трансляций, сопоставим инфинитезимальному сдвигу оператор

где Р — полный импульс системы N частиц. Из сказанного ранее следует, что оператор, связанный с трансляцией имеет вид

Определенные таким образом операторы образуют группу, изоморфную группе трансляций, ибо

Группа вращений дает еще один пример непрерывной группы с тремя параметрами. Операторы вращений уже были найдены в главе XIII. Определяющую их формулу (XIII. 55) следует сравнить с формулой (41). Полный момент импульса играет в группе вращений ту же роль, что и оператор полного импульса Р в группе трансляций. Компонента полного момента импульса вдоль и определена с точностью до постоянной перестановочными соотношениями (XIII. 56) и (XIII. 57), которые соответственно описывают инфинитезимальные вращения скалярных и векторных наблюдаемых. Произвольная постоянная может быть фиксирована требованием, чтобы момент был векторным оператором.

Операторы вращений определяются как произведения инфинитезимальных вращений. Это приводит к формуле (XIII. 60),

которую следует сравнить с формулой (42). Указанные операторы образуют группу, изоморфную группе вращений, если система содержит четное число полуцелых спинов, и только гомоморфна ей, если система содержит нечетное число полуцелых спинов. Этот вопрос уже обсуждался нами, и мы не будем его рассматривать здесь снова.

Множество операторов Т и которые определены формулами (42) и (60), и всевозможные произведения этих операторов также образуют группу. Если система содержит четное число полуцелых спинов, эта группа изоморфна группе смещений, если это не так, то рассматриваемая группа только гомоморфна группе смещений, и два оператора, отличающиеся знаком, соответствуют каждому из элементов последней.