§ 20. Электромагнитный потенциал. Выбор калибровки

Можно получить уравнения, которые эквивалентны, на проще уравнений (138), если ввести векторный А и скалярный потенциалы следующим образом (см. ур. (XX. 17)):

Уравнения (138) тогда выполняются автоматически, а уравнения (139) эквивалентны следующим:

Уравнения (154) определяют А и только с точностью до произвольной функции Эти уравнения не изменятся, если сделать подстановку

Такая замена называется калибровочным преобразованием (см. § XX. 20).

Приведенные соотношения можно записать в ковариантном виде. Потенциалы А и образуют -вектор (см. ур (XX. 6)); в соответствии с уравнениями (154) ротор вектора А» равен

(см. ур. (XX. 8)), последняя величина определяет с точностью до градиента произвольной функции. Калибровочное преобразование (156) и состоит в добавлении к потенциалу такого градиента

Уравнения (155) принимают вид

Не нарушая явной ковариантности теории, можно частично устранить произвол в калибровке, потребовав, чтобы выполнялось дополнительное условие Лоренца

В этом случае уравнение движения для потенциала примет более простой вид

Условие Лоренца фиксирует калибровку потенциала с точностью до функции х — произвольного решения уравнения . Другими словами, уравнения (159), (160) и определение поля инвариантны относительно лоренцевых калибровочных преобразований, которые называют иногда специальными:

Простые уравнения движения можно также получить, если потребовать выполнения условия

В отличие от условия Лоренца оно нарушает явную ковариантность теории. Тем не менее, его преимущество состоит в том, что полностью устраняется произвол в калибровке. Введенная калибровка обычно называется радиационной калибровкой. Ее мы и будем использовать в дальнейшем. Прежде чем начать изложение теории излучения в этой калибровке, полезно напомнить важное свойство разложения векторных полей.