Раздел I. СВОБОДНАЯ ФУНКЦИЯ ГРИНА И ПРИБЛИЖЕНИЕ БОРНА

§ 2. Интегральные представления амплитуды рассеяния

В этом и следующем разделах мы будем обсуждать рассеяние частицы массы на потенциале Обозначим оператор кинетической энергии а полный гамильтониан Н

Предположим, что потенциал V асимптотически стремится к нулю быстрее, чем Потенциалы типа будут кратко исследованы в § 15.

В дальнейшем у нас появятся различные типы волн, которые мы будем обозначать соответствующими буквами. Так, букву зарезервируем за плоскими волнами, — за стационарными решениями гамильтониана Н. Для заданного волнового вектора определим:

(i) плоскую волну ;

(ii) стационарные волны которые характеризуются соответственно асимптотическим поведением: расходящаяся волна и сходящаяся волна.

В частности, если — волновой вектор падающих на потенциал частиц, их энергия то стационарная волна рассеяния (определение § X. 3) есть Это решение и амплитуда рассеяния определяются условиями

Сечение рассеяния в направлении обозначим . В главе X было показано, что

Пусть вектор длины в направлении . В этом раз деле будут фигурировать только стационарные волны, определяемые векторами Поэтому для упрощения записи мы будем систематически заменять индексы на соответственно.

Установим прежде всего наиболее общие свойства амплитуд рассеяния. Рассмотрим два потенциала и обозначим стационарные решения для соответствующих гамильтонианов соответственно . Наибольший интерес для нас будут представлять решения

Покажем, что

(посредством — обозначаем направление, противоположное ).

Доказательство проведем аналогично тому, которое использовалось в § X. 17 при получении интегральных представлений для фазовых сдвигов. В случае, когда это не будет приводить к недоразумениям, мы будем опускать индексы а и символ Умножим уравнение (6) на и вычтем из него равенство, полученное умножением выражения комплексно-сопряженного к уравнению (5) на Так как вещественно, получаем

Интегрируя по объему сферы радиуса с центром в начале координат, имеем

Несмотря на эрмитовость оператора интеграл в правой части не обязан исчезать в пределе, так как функции не

являются квадратично интегрируемыми. Используя теорему Грина, преобразуем этот интеграл в поверхностный интеграл по сфере радиуса

Пусть — функции от будем обозначать интеграл по. такой сфере от «радиального вронскиана»

следующим образом:

В силу теоремы Грина имеем

Уравнение (10) можно теперь переписать так:

Поверхностный интеграл стремится асимптотически к константе, которую можно легко вычислить, подставляя вместо функций и их производных первый член их асимптотического разложения по степеням Используя формулы (7) и (8), находим

Асимптотика плоской волны имеет вид (задача 1):

В правой части равенства обозначают направления векторов , -функции определяются их свойством

справедливым для любой (гладкой) функции от угловых переменных Если мы заменим плоские волны в правой части формулы (13) их асимптотическими выражениями, то интегрирование по углам легко выполняется. Поскольку векторы имеют одинаковую длину, то первый член равен нулю (в согласии с результатом задачи 2). Во втором члене только сходящаяся часть плоской волны дает ненулевой вклад, который

равен . То же верно и для третьего слагаемого, чей вклад равен Четвертое слагаемое равно нулю. Таким образом, имеем

Подставляя этот результат в уравнение (12), получаем соотношение (9).

Наиболее интересное свойство соотношения (9) — его независимость от конкретной формы потенциалов Требуется только, чтобы потенциалы были вещественными и убывали на бесконечности быстрее, чем

В качестве первого примера возьмем

Соотношение (9) тогда примет вид

Это интегральное представление амплитуды рассеяния будет использовано в следующих двух параграфах в качестве исходного для борновского приближения.

Положим теперь

Левая часть соотношения (9) обращается в нуль и, следовательно, две амплитуды в правой части равны друг другу

Наконец, пусть

Тогда

Сравнивая соотношения (15), (16) и (17), получаем важное равенство