§ 32. Комптоновское рассеяние при низких энергиях. Формула Томсона

В качестве примера задачи рассеяния, отличной от приведенных в разделе II, но которая может быть решена теми же методами, рассмотрим комптоновское рассеяние (рассеяние фотонов свободными электронами) 1).

В начальном состоянии системы имеются электрон с импульсом и фотон с импульсом и поляризацией . Такое состояние представляется кет-вектором Нас интересует сечение рассеяния из начального состояния в конечное, которое содержит электрон и фотон с импульсами и поляризацией соответственно. Конечное состояние обозначим Энергия и импульс при рассеянии сохраняются.

Для вычисления сечения рассеяния при всех энергиях электрон следует рассматривать как частицу, удовлетворяющую уравнению Дирака и взаимодействующую с излучением по закону — . В этом параграфе мы ограничимся рассмотрением рассеяния в области малых частот

Пусть в начальном состоянии электрон покоится и энергия налетающего фотона достаточно мала, чтобы переданная электрону в результате рассеяния энергия была мала по сравнению с его массой

(следовательно, . В этом случае можно использовать нерелятивистское приближение для электрона и в качестве гамильтониана системы взять оператор

где

Согласно формуле (235) Н есть сумма трех слагаемых которые определяются уравнениями (236 а), (236 б) и (237) соответственно.

Для вычисления сечения рассеяния воспользуемся формулами теории рассеяния (глава XIX). Ясно, что все оговорки, сделанные в аналогичной задаче из § 14, остаются в силе и в данном случае. Мы не будем повторять их здесь, а предположим, как и в § 14, что формулы теории рассеяния применимы при условии замены в этих формулах массы электрона на экспериментально измеряемую величину.

Непосредственное применение формализма теории рассеяния сталкивается с дополнительной трудностью, которая связана с невозможностью определить и отделить переменные центра масс. Однако трудность эта только кажущаяся. Отделение движения центра масс играет в нерелятивистской теории столкновений вспомогательную роль: в силу сохранения при столкновении полного импульса системы формулы становятся проще. Можно сформулировать теорию рассеяния, не прибегая к отделению движения центра масс, тогда закон сохранения импульса будет фигурировать в формулах явно.

Мы воспользуемся здесь такой формулировкой. Единственное изменение связано с определением амплитуды перехода

. Примем для Т формальное определение

Поскольку оператор Т инвариантен относительно трансляций, то матричный элемент пропорционален -функции, обеспечивающей закон сохранения полного импульса. Амплитуда перехода определяется равенством

Множитель учитывает принятую нормировку плоских волн

При таких определениях сечение рассеяния дается общей формулой (XIX. 116).

Будем вычислять амплитуду перехода раскладывая Т в ряд по степеням и ограничиваясь только низшим нетривиальным порядком, т. е.

Из выражений (236 а, б) и (237) видно, что каждое слагаемое в правой части содержат множитель

Это и есть упоминавшийся выше множитель, выражающий закон сохранения импульса. Используя выражение (237), получаем

где . Поскольку мы интересуемся только областью малых частот, то членами порядка по сравнению с единицей пренебрегаем и можем считать

Легко показать, что вклад второго слагаемого в правой части уравнения (249) порядка по сравнению с вкладом первого слагаемого. Таким образом, в данном приближении имеем

Следовательно, сечение рассеяния (см. ур. (116)) равно

Чтобы получить сечение рассеяния неполяризованных фотонов, следует усреднить по двум возможным начальным поляризациям и просуммировать по двум конечным поляризациям. Вводя обозначение для угла рассеяния фотона получаем

Интегрируя по всем направлениям излучение, приходим к формуле для полного сечения рассеяния фотонов

Эти результаты хорошо согласуются с экспериментальными наблюдениями.

Выражения (252) — (254) совпадают с теми, которые получаются в классической теории излучения. В частности, для полного сечения мы получили классическую формулу Томсона. Такое совпадение результатов двух теорий убеждает нас в справедливости сказанного в § I. 5 о значении и пределах применимости классической теории эффекта Комптона. Очевидно, что классическая теория не может учесть корпускулярный характер излучения и тот факт, что обмен импульсом и энергией между излучением и электроном осуществляется посредством квантов. Но эта теория правильно предсказывает целый ряд характеристик, таких как среднее значение за единицу времени и на единичный падающий поток переданного электрону импульса (ур. (254)), угловое распределение и поляризацию рассеянного излучения (ур. (252)), а также, при учете эффекта Допплера, изменение длины волны рассеянного излучения (ур. (1.5) и (1.6)).

Полное совпадение результатов двух теорий происходит только в пределе малых частот, когда длина волны электромагнитного излучения настолько велика, что процесс рассеяния практически не зависит от внутренней структуры электрона. Поскольку электрон является квантовым объектом, то его раз

меры порядка и эффекты, обусловленные его структурой), по порядку величины равны . В нерелятивистском пределе они определяются вторым слагаемым в выражении (249). С ростом энергии налетающего фотона квантовая природа электрона проявляется все отчетливее, становится все более существенной для описания процесса рассеяния и наблюдаются растущие и ярко выраженные отклонения от предсказаний классической теории.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)