§ 13. Построение неприводимых инвариантных подпространств

Начиная с этого места, мы будем предполагать, что для каждого неприводимого представления выбран стандартный базис. Мы будем говорить, что вектор имеет тип если он преобразуется как компонента вектора стандартного базиса представления . В этих предположениях унитарные матрицы определены однозначно. Таким образом, наша задача состоит в построении стандартного базиса, отвечающего группе У, в пространстве представления определенного в начале § 12. Мы ограничимся случаем, когда порождено действием операторов группы на заданный вектор пространства кет-векторов . В квантово-механических приложениях теории групп общий случай всегда можно свести к этому специальному.

Базисные операторы регулярного представления.

Введем N операторов

Из соотношений ортогональности (31) следует, что все N операторов группы являются линейными комбинациями этих операторов

Из унитарности леммы о перенумерации и соотношений (29) получаем основные свойства операторов

Согласно элементов групповой алгебры, описываемые матрицами образуют стандартный базис регулярного представления.

Построение стандартного базнса при помощи операторов Если известно как построить операторы т. е. если известны матричных элементов то задача построения стандартного базиса в практически решена.

Действительно:

а) если вектор отличен от нуля, то он имеет тип

б) N векторов растягивают все пространство векторов соответствующих одному и тому же значению индекса имеют перечисленные ниже свойства:

(i) векторов, соответствующих одному и тому же значению имеют одну и ту же норму и образуют стандартный базис представления векторов, соответствующих одному и тому же значению , растягивают -мерное пространство векторов типа Они связаны друг с другом линейными соотношениями, коэффициенты которых не зависят от (в частности, если то эти векторов пропорциональны друг другу и коэффициенты пропорциональности не зависят от

Таким образом, для построения стандартного базиса в соответствующего заданной группе, нам необходимо только выбрать для каждого значения определенное значение индекса , используя, например, метод ортогонализации Шмидта, построить и, базисных векторов в пространстве

Тогда векторы

образуют искомый стандартный базис; векторов и фиксированы, образуют стандартный базис для представления

Другие свойства операторов . Проекторы на подпространства и переход от одного из них к другому. Введем обозначения

Операторы образуют множество ортогональных проекторов, сумма которых равна

Оператор есть проектор на пространство векторов типа

Разложение единицы (54) позволяет записать каждый вектор из в виде суммы векторов, каждый из которых принадлежит соответствующему подпространству

При оператор В является оператором перехода из подпространства в пространство . Смысл такого термина очевиден: из уравнений (50) и (48) следует

Таким образом, оператор действуя на произвольный вектор, ортогональный подпространству обращает этот вектор в нуль, а при действии на вектор из переводит его в вектор из Тем самым устанавливает биоднозначное соответствие между подпространствами сохраняющее скалярное произведение.

Если — вектор типа то векторов

образуют стандартный базис представления

Использование сумм элементов класса Проектор Если мы можем ограничиться определением неприводимых инвариантных подпространств в пространстве то нет необходимости в определении матричных элементов в стандартном базисе.

Суммы элементов класса

имеют по крайней мере один общий набор базисных векторов. Каждому вектору этого набора соответствует некоторая последовательность собственных значений операторов Всего имеется наборов возможных собственных значений определяемых соотношением (35), каждый из которых соответствует определенному неприводимому представлению группы. Следовательно, если нам удастся одновременно диагонализовать то каждая последовательность собственных значений будет -кратно вырождена и соответствующее подпространство определяет компоненту представления Если все равны единице, то разложение на неприводимые достигнуто. Если же это не так, то такое же разложение следует провести в каждом из подпространств для которого

Напомним, что операторов К являются функциями от меньшего числа этих операторов, и задача диагонализациии будет решена, если мы диагонализуем эти последние операторы.

Задача диагонализации операторов К практически сводится к определению характеров всех неприводимых представлений группы. (Таблицы характеров имеются для большинства групп, используемых в физике. Соответствующая литература указана в первой сноске этого Дополнения.) Действительно, проектор на подпространство имеет вид