§ 12. Излучение квантов

Вернемся к рассмотрению состояний частицы, которые являются нестабильными в силу взаимодействия Н.

В этом параграфе мы вычислим вероятности перехода в единицу времени для различных «радиационных переходов», пользуясь нестационарной теорией возмущений (§ XVII. 4).

Предположим для определенности, что спектр оператора совпадает со спектром, изображенным на рис. 24, и рассмотрим состояние . Из этого состояния энергетически возможню только переходы в основное состояние с излучением одного или двух квантов и переходы в первое возбужденное состояние с излучением одного кванта Ниже мы будем рассматривать только переходы с излучением одного кванта. Испускание двух квантов представляет собой процесс высшего порядка и при прочих равных условиях происходит в раз реже, чем испускание одного кванта. Поэтому, интересуясь только первым порядком теории возмущений, мы такие процессы рассматривать не будем.

Пусть частица первоначально находится в состоянии Тогда вероятность в единицу времени перехода частицы в со стояние с излучением кванта в телесный угол т. е. вероятность в единицу времени перехода где вектор в данном телесном угле, в первом порядке дается выражением (см.

в котором энергия кванта со вычисляется из закона сохранения

Принимая во внимание соотношения (49), (69а) и (70), из формулы (80) получаем

Интегрируя по углам, получаем вероятность перехода в единицу времени из состояния которую мы обозначим

Аналогичные выражения можно получить для переходов в состояние Полная вероятность перехода в единицу времени равна

Величина обратна времени жизни состояния что можно увидеть из следующих полуклассических рассуждений. Рассмотрим статистический ансамбль частиц и обозначим число частиц в состоянии в момент времени Число частиц, участвующих в радиационном переходе в интервале времени равно Следовательно,

или

и

Это хорошо известный экспоненциальный закон распада, и Бремя жизни равно . В рассмотренном нами случае имеется две моды распада, и и отношение первой ко второй равно

Ясно, что приведенные полуклассические рассуждения не могут считаться доказательством экспоненциального закона, поскольку вычисление вероятностей перехода по теории возмущений оправдано только для (см. обсуждение в конце § XVII. 4), т. е. для достаточно малых t, пока вектор состояния мало отличается от начального. Для больших времен требуется более глубокий анализ, который будет проделан в § 13.

Чтобы определить Г по порядку величины, вернемся к обозначениям и численным данным § 11. Для не слишком больших энергий возбуждения имеем , поскольку размеры области, где сосредоточена волновая функция, порядка получаем

Величину можно оценить, заменив экспоненту первым членом ряда Тейлора, который дает отличный от нуля вклад (длинноволновое приближение); порядок этого члена определяется в основном правилами отбора по моменту импульса. В наиболее благоприятной ситуации (дипольные переходы) имеем

откуда

Если взять это же значение для величины то получим время жизни значительно превосходящее (в 106 раз) характерный период движения частицы во внешнем потенциале. Следовательно, разумно рассматривать, что и было сделано выше, взаимодействие которое ответственно за излучение кванта, как малое возмущение.

Можно получить формально очень простое и общее выражение для исходя непосредственно из формулы (80) и

используя определение плотности уровней, закон сохранения энергии и соотношение полноты. Последовательно имеем

Полученное выражение будет использоваться в дальнейшем.