Раздел II. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ

§ 6. Определения

Группы линейных подстановок. Произведение квадратных матриц ассоциативно. Если множество матриц удовлетворяет аксиомам (i), (ii) и (iii), определяющим группу, то эти матрицы образуют некоторую группу

Каждая матрица представляет некоторый линейный оператор n-мерного векторного пространства , следовательно, определяет линейное преобразование векторов этого пространства. Если базисных векторов в (этот базис не предполагается ортонормированным), то преобразование каждого из них задается уравнением

Группы указанного типа, которые мы будем обозначать буквами жирного шрифта латинского алфавита, называются группами (n-мерных) линейных подстановок.

Представление группы. По определению линейным представлением группы называют ее гомоморфизм в группу линейных подстановок.

Пусть — группа линейных подстановок, а — векторное пространство, в котором действуют матрицы, являющиеся элементами этой группы. называется пространством представления, а число его измерений называется размерностью (или степенью) представления.

Если 3 изоморфна то представление называется точным. Если же это не так, то элементы из гомоморфные единичной матрице 1, образуют инвариантную подгруппу является точным представлением фактор-группы

Одномерные представления. Каждая группа имеет по крайней мере одно одномерное представление — тривиальное, или единичное, представление, в котором каждый элемент группы представляется числом 1.

Для того чтобы существовали одномерные представления, отличные от тривиального, группа должна иметь инвариантные подгруппы, соответствующие которым фактор-группы абелевы. Все нетривиальные одномерные представления являются представлениями этих абелевых фактор-групп (см. обсуждение группы в § 17).

Унитарное представление. Представление называется унитарным, если все матрицы, принадлежащие унитарны.

Эквивалентные представления. Два представления называются эквивалентными, если они имеют одинаковую размерность и если каждая матрица одного из представлений получается при помощи фиксированного линейного преобразования Т из матрицы другого представления, соответствующей тому же элементу группы

или

Если — эквивалентные представления, то используется символическая запись

Если отождествить пространства представления и то переход от представления к эквивалентному представлению соответствует выбору нового набора базисных векторов в пространстве представления.

Сопряженные представления. Два представления и матрицы которых комплексно сопряжены друг другу, называются сопряженными представлениями.

Представление называется самосопряженным, если оно эквивалентно своему сопряженному

Характеры. След матрицы которая соответствует элементу в представлении группы называют характером х элемента в этом представлении

Из свойств следа вытекает, что два элемента из одного и того же класса сопряженных элементов имеют один и тот же характер: характер является функцией от класса.

По тем же причинам: два эквивалентных представления имеют один и тот же набор характеров:

Символически это можно записать так:

(N. В. Если представление самосопряжено, то его характеры вещественны.)