§ 11. Статистика атомных ядер

Во многих задачах ядра атомов можно рассматривать как частицы, имеющие определенный спин

В атомной физике это приближение весьма эффективно. Атомное ядро является ансамблем нуклонов: Z протонов и N нейтронов Динамические переменные атомного ядра описываются функциями фундаментальных переменных образующих ядро частиц. Пусть и Р — координата и импульс центра масс (ср. § IX. 13). Обозначим набор внутренних переменных: спинов, относительных координат и импульсов нуклонов. Среди этих переменных особенно существен полный момент импульса внутренних переменных, так называемый спин ядра. Момент представляет собой сумму спинов отдельных нуклонов, и относительного орбитального момента импульса. Согласно правилу сложения моментов может принимать как целые, так и полуцелые значения, в зависимости от того является ли четным или нечетным.

В отсутствие внешнего поля движение центра масс отделяется, и гамильтониан системы представим в виде суммы двух членов: кинетической энергии центра масс (здесь М — полная масса ядра) и внутренней энергии включающей как кинетическую энергию нуклонов, так и энергию их взаимодействий друг с другом. Гамильтониан имеет определенное число связанных состояний. Обозначим собственное значение, соответствующее основному состоянию. Поскольку силы между нуклонами инвариантны относительно вращений, то коммутирует с тремя компонентами векторного оператора (см. гл. VIII). Каждому собственному значению в дискретном спектре гамильтониана соответствует определенное собственное значение спина, которое -кратно вырождено. В дальнейшем обозначает спин основного состояния, — возможные значения — собственную функцию основного состояния с моментом импульса

Эти векторов отличаются друг от друга только своей ориентацией. Все они могут быть получены один из другого действием операторов и образуют базис представления векторного оператора Радиус ядра имеет порядок от до и, следовательно, среднее межнуклонное расстояние для ядра в состоянии имеет тот же порядок.

До тех пор пока ядро остается в основном состоянии волновая функция системы имеет вид и ядро можно рассматривать как частицу со спином и волновой функцией в представлении поскольку в гамильтониане может быть заменено на постоянную развивается во времени так же, как и волновая функция свободной частицы массы М (с точностью до не имеющего физического значения постоянного фазового множителя).

Если ядро находится во внешнем поле, например, в электрическом поле с потенциалом то гамильтониан будет содержать, помимо уже упомянутых выше членов, члены, отвечающие взаимодействию Z протонов с внешним полем. В этом случае ядро можно рассматривать как частицу со спином только приближенно, так как гамильтониан теперь не коммутирует с Однако если поле незначительно изменяется на расстояниях, имеющих тот же порядок, что и радиус ядра, то это приближение остается достаточно хорошим, ибо в этих условиях значение поля в месте нахождения каждого из протонов можно заменить его значением в центре масс. В этом случае внешнее взаимодействие равно и собственные состояния гамильтониана имеют вид -стационарное состояние частицы массы М спина и заряда в электрическом потенциале

Рассмотрим систему из ядер, каждое из которых находится в своем основном состоянии. Приближение, в котором каждое из ядер рассматривается как частица с заданным спином будет оправдано до тех пор, пока эти ядра будут достаточно удалены друг от друга, что имеет место, например, в случае молекулы или твердого тела. Пусть координата ядра, есть z-компонента его спина. Тогда волновая функция системы зависит от и а движение системы определяется гамильтонианом, зависящим от переменных

Рассмотрим, как изменяется это упрощенное описание при введении постулата симметризации. Можно ожидать, что симметризация будет существенна лишь в том случае, когда некоторые из ядер тождественны. Это можно доказать тем же методом, что и в § 8. Два разных ядра являются различными частицами, несмотря на тождественность частиц, протонов и нейтронов, составляющих эти ядра.

Рассмотрим систему двух тождественных ядер спина Будем описывать состояние системы волновой функцией

Перестановка двух ядер — операция Р, определяемая соотношением

В действительности, система содержит протонов и нейтронов, и ее динамическое состояние получается антисимметрии зацией по протонам и нейтронам вектора

Операция Р состоит в замене координат и спинов протонов и нейтронов первого из ядер на координаты и спины протонов и нейтронов, второго — для всех элементарных перестановок. Поскольку каждая из последних приводит к изменению знака у антисимметризованного вектора, то получаем

Так что

Сказанное легко может быть распространено на системы, содержащие более двух тождественных ядер. Волновая функция должна быть симметрична или антисимметрична относительно перестановок тождественных ядер в соответствии с четностью или нечетностью числа нуклонов, образующих ядро.

Иными, словами, ядра атомов будут:

(а) бозонами, если они содержат четное число нуклонов;

(б) фермионами, если они содержат нечетное число нуклонов.

Эти различия в статистике могут неожиданно проявиться во многих явлениях, в которых на первый взгляд чисто ядерные эффекты представляются несущественными. Именно такая ситуация возникает при исследовании удивительных свойств жидкого гелия при очень низких температурах. подчиняется статистике Бозе — Эйнштейна, тогда как его изотоп подчиняется статистике Ферми — Дирака и ведет себя при низких температурах совершенно иначе.

В дальнейшем (§ XVIII.17) мы еще раз встретимся с необходимостью учета статистики ядер при описании полосатых спектров гомонуклеарных диатомных молекул.