§ 7. Критерий применимости борновского приближения

Для того чтобы борновское приближение имело смысл, необходимо, чтобы ошибка, сделанная при вычислении когда заменяем на плоскую волну была пренебрежимо малой. Следовательно, в области, где потенциал У отличен от нуля, точная стационарная волна должна мало отличаться от плоской. Полагая

получим условие

(во всех точках, где относительно велико).

Можно оценить оставляя первый член ее борновского разложения. Выбирая ось z вдоль после очевидной замены переменных получим

Так как в экспоненте присутствует зависит от энергии. Однако можно получить независимую от энергии оценку сверху для заменяя выражение под знаком интеграла на его модуль:

Обозначим через а радиус действия потенциала, а — его среднее значение. В соответствующей области изменения переменной верхняя оценка равна приблизительно и борновское

приближение справедливо при всех энергиях, если

Это условие, очевидно, слишком ограничительное. Интеграл достигает предела, определяемого (40), только при достаточно малых энергиях, когда множитель практически постоянен в области изменения потенциала, т. е. когда . Если же то этот множитель быстро осциллирует в рассматриваемой области, и приведенная оценка излишне груба. При осцилляции становятся все быстрее, и интеграл I стремится к нулю. Мы можем, следовательно, ожидать, что борновское приближение будет справедливым при достаточно больших энергиях.

Асимптотическое поведение при больших энергиях можно получить методом стационарной фазы. Основной вклад дает область, окружающая точки, где осциллирующий фазовый множитель стационарен, эта область окружает полуось Опуская детали вычислений, получаем

Поэтому в таком пределе имеет порядок в рассматриваемой области изменения . Критерий (39) будет выполнен, если

Для того чтобы получить критерий применимости борновского приближения для промежуточных энергий, когда неравенство (41) не выполнено, необходимо оценивать интеграл I в каждом конкретном случае. На практике его обычно оценивают для одной специально выбранной точки в области изменения потенциала, например, Для центрального потенциала после интегрирования по углам получим

Это выражение хорошо согласуется с формулами (40) и (42). Отсюда получаем критерий

В теории столкновений величиной, характеризующей сечение, служит геометрическое сечение рассеяния соответ ствующее области взаимодействия частиц, размеры которой порядка а. Когда применимо борновское приближение, полное сечение мало по сравнению с этой величиной:

Докажем это неравенство в двух предельных случаях: Воспользуемся выражением (28) для полного сечения. В соответствии с определением (ур. (25)), функция имеет величину порядка в области с радиусом и центром в начале координат. Во всех других точках она практически равна нулю. Подставляя эти значения функции в правую часть равенства (28), получим

Условия применимости борновского приближения имеют вид неравенства (41) в первом случае и неравенства (43) - во втором. В обоих случаях

Для справедливости борновского приближения выполнение неравенства (45) необходимо, но недостаточно. Бывает, что из-за резонансных эффектов, таких как эффект Рамзауера — Таунсенда при рассеянии медленных электронов на атомах, сечение рассеяния много меньше геометрического сечения и без быстрой сходимости борновского разложения. На практике резонансные эффекты легко распознать по их большой чувствительности к изменениям энергии налетающих частиц. С учетом этих фактов неравенство (45) является очень полезным критерием применимости борновского приближения.