§ 17. Инвариантность относительно вращений и сохранение момента импульса

Инвариантность некоторой величины относительно вращений всегда может быть выражена как ее специальное свойство по отношению к моменту импульса. Действительно, любое вращение можно рассматривать как произведение бесконечно малых вращений, а инвариантность данной величины относительно последних означает ее инвариантность и относительно всех вращений. В силу соотношений (55) момент импульса фигурирует в условии инвариантности относительно бесконечно малых вращений.

Итак, для инвариантности волновой функции или кет-вектора относительно вращений необходимо и достаточно, чтобы применение к ним любой компоненты полного момента импульса давало нуль

Фактически достаточно, чтобы выполнялось равенство

Этим свойством обладают, например, волновые функции частицы в s-состоянии, которые зависят только от переменной . Другой пример — волновые функции нескольких частиц, зависящие только от расстояний между частицами и от углов между радиусами-векторами частиц.

Для того чтобы наблюдаемая S была инвариантна относительно вращений (условие (53)), необходимо и достаточно, чтобы она коммутировала с компонентами момента импульса

Инвариантность гамильтониана относительно вращений заслуживает особого рассмотрения. Если для любого R

то уравнения движения инвариантны относительно вращений: два вектора состояний, из которых данное вращение преобразует один в другой в момент времени будут связаны тем же соотношением во все остальные моменты. Это очевидно, поскольку, если удовлетворяет уравнению Шредингера, то для любого имеем

и, следовательно, также является решением уравнения Шредингера.

Аналогично, если собственный вектор Н, то все векторы вида которые могут быть получены вращением данного, также являются собственными векторами Н, отвечающими тому же собственному значению. Другими словами, подпространство каждого собственного значения Н инвариантно относительно вращений.

Все следствия инвариантности уравнений движения относительно вращений можно получить из соотношений

выражающих инвариантность Н по отношению к бесконечно малым вращениям.

При выполнении этих соотношений, операторы и Н попарно коммутируют, и решение задачи на собственные значения значительно упрощается: достаточно найти собственные функции Н среди общих собственных функций Я и . Более того, энергетические спектры, отвечающие данному значению — одни и те же, собственные функции, отвечающие возможным значениям М, получаются одна из другой последовательным применением или Другими словами, собственные значения энергии не зависят от М; каждому собственному значению соответствующему данному значению отвечает одна или несколько серий собственных векторов; вектора данной серии получаются друг из друга последовательным применением или и натягивают неприводимое и инвариантное по отношению к вращениям подпространство. Такой тип вырождения спектра энергии называется ротационным вырождением.

Случай частицы в центральном поле (гл. IX) служит хорошей иллюстрацией приведенного обсуждения. Гамильтониан частицы в центральном поле, очевидно, должен быть инвариантен относительно вращений; непосредственно проверяется, что он коммутирует с тремя компонентами момента импульса I. Метод, использованный в главе IX, и состоит в нахождении собственных функций Н среди общих собственных функций , отвечающих собственным значениям соответственно, т. е. среди функций вида

Задача сводится к решению обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка по Более того, поскольку не фигурирует в уравнении, то по каждой радиальной функции мы можем построить собственных функций Н, отвечающих одному и тому же собственному значению.

Как отмечалось ранее, мы имеем здесь удивительную анало-гию между классической и квантовой механикой. Инвариантность уравнений движения классической системы относительно вращений координатных осей приводит к сохранению полного момента импульса системы. Это свойство позволяет получить первые интегралы движения и значительно упростить решение уравнений. Точно так же инвариантность относительно вращений уравнений движения в квантовой механике ведет к сохранению полного момента; однако из-за некоммутативности компонент момента импульса законы сохранения в этом случае выражаются не столь просто.