§ 15. Вращение на угол 2pi и полуцелый момент импульса

Согласно уравнению (58)

Хотя вращение на вокруг произвольной оси и возвращает нас в исходную точку, соответствующий оператор вращения не обязательно равен 1. В представлении, в котором диагонален оператор диагонален и данный оператор, а его диагональные элементы равны +1 или -1 в зависимости от того, является ли соответствующее собственное значение целым или полуцелым.

Рассмотрим наблюдаемую D, которая есть функция Я, с собственным значением при целом при полуцелом.

Отметим, что

— проектор на подпространство, соответствующее целым

— проектор на подпространство, соответствующее пол у целым

коммутирует со всеми операторами вращений

Отсюда ясно, что

Для того чтобы необходимо чтобы момент импульса принимал только целые значения. С другой стороны, всегда имеем

Существование взаимно однозначного соответствия между инфинитезимальными вращениями и инфинитезимальными операторами (определение (55)) никоим образом не означает существования аналогичного соответствия для конечных вращений. Имеется бесконечное число способов записать конечное вращение в виде произведения инфинитезимальных вращений. Каждый из рассмотренных выше операторов соответствует одному из этих способов. A priori не существует каких-либо причин полагать, что различные способы соответствия будут давать один и тот же оператор.

Тем не менее можно показать (доказательство мы опускаем), что каждому конечному вращению соответствует самое большее два оператора и отличающиеся «вращением на

В рассматриваемых до сих пор физических системах момент импульса мог принимать только целочисленные значения, в этом случае и так что каждому вращению соответствует один и только один оператор вращения. Если же система имеет состояния с полуцелым угловым моментом, то операторы и не совпадают.

Обсудим факт существования двух различных операторов, описывающих одно и то же вращение. То, что вращение на кет-вектора не дает в результате тот же вектор, не ведет к принципиальным трудностям, если только это не приводит к наблюдаемому эффекту. Ясно, что результаты эксперимента не изменятся, если заранее повернуть некоторые из приборов наблюдения на угол два тождественных прибора, занимая одно и то же положение, дадут один и тот же результат. Следовательно, если наблюдаемая Q представляет измеримую величину, то она должна быть инвариантна при вращении на говоря более общим образом, если выполняется вращение над Q, то полученная в результате наблюдаемая не должна зависеть от конкретного выбора способа вращения

Инвариантность относительно «вращения на гарантирует выполнение этого более общего свойства. Формально ее можно записать как

По определению, наблюдаемая является эрмитовым оператором, имеющим полный набор собственных векторов. Каждый оператор, представляющий физическую величину, должен быть наблюдаемой — необходимое условие самосогласованности квантовой механики. Однако совсем не обязательно, чтобы было верно обратное. Будем называть физической наблюдаемой наблюдаемую, связанную с физически измеряемой величиной. Предшествующий анализ показал, что любая физическая наблюдаемая должна удовлетворять соотношению (63). При

изучении физической системы обычно неявно предполагают, что все наблюдаемые системы являются физическими наблюдаемыми; хотя такое предположение часто упрощает обсуждение, оно несущественно и может быть заменено на более ограничительное, без серьезных модификаций в интерпретации теории. Соотношение (63) представляет одно из таких ограничений; с другими мы встретимся при обсуждении тождественных частиц.

Таким образом, существование полуцелых моментов импульса не противоречит никаким принципам квантовой механики. Действительно, полуцелые моменты существуют в природе.